РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 16 № 635568 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 411

Методы алгебры: Целочисленные уравнения в финансовой математике

Финансовая математика. Вклады

Павел положил 1 миллион рублей на счет в банк на некоторое количество лет. В конце каждого года его вклад увеличивается на 15%. Потом Павел переложил все деньги в другой банк. Во втором банке вклад увеличивался на 20% в конце каждого года. Через несколько лет вклад Павла составил 2 285 280 рублей. Сколько лет вклад Павла хранился во втором банке?

Решение. Пусть во втором банке вклад хранился n лет. В первом банке вклад ежегодно увеличивался в 1,15 раза, а во втором банке  — в 1,2 раза. Разделим итоговую сумму 2 285 280 руб. на 1,15, получим 1 987 200. Раздели еще раз, получим 1 728 000. Третье деление на 1,15 даёт периодическую дробь, а значит, в первом банке вклад лежал ровно два года. Оставшееся время вклад лежал вот втором банке, увеличиваясь в 1,2 раза ежегодно. Последовательно деля 1 728 000 на 1,2, за три деления получим исходную сумму в 1 миллион рублей. Таким образом, во втором банке вклад лежал три года.

Приведем другое решение.

В первом банке вклад ежегодно увеличивался в 1,15  раза, то есть в $дробь: числитель: 23, знаменатель: 20 конец дроби$ раза. Если в первом банке вклад лежал k лет, а во втором  — n лет, то

$1000000 умножить на 1,15 в степени k умножить на 1,2 в степени n =2285280 равносильно 1000000 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 23, знаменатель: 20 конец дроби правая круглая скобка в степени k умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в степени n = 2285280.$ $1000000 умножить на 1,15 в степени k умножить на 1,2 в степени n =2285280 равносильно$
$равносильно 1000000 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 23, знаменатель: 20 конец дроби правая круглая скобка в степени k умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в степени n = 2285280.$

Число 23  — простое, правая часть делится на 23², откуда получаем:

$1000000 умножить на дробь: числитель: 23 в квадрате , знаменатель: 20 в квадрате конец дроби умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в степени n = 2285280 равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в степени n = дробь: числитель: 2285280, знаменатель: 2500 умножить на 529 конец дроби равносильно$
$равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в степени n = дробь: числитель: 432, знаменатель: 250 конец дроби равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в степени n = дробь: числитель: 216, знаменатель: 125 конец дроби равносильно n=3.$ $1000000 умножить на дробь: числитель: 23 в квадрате , знаменатель: 20 в квадрате конец дроби умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в степени n = 2285280 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в степени n = дробь: числитель: 2285280, знаменатель: 2500 умножить на 529 конец дроби равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в степени n = дробь: числитель: 432, знаменатель: 250 конец дроби равносильно$
$равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в степени n = дробь: числитель: 216, знаменатель: 125 конец дроби равносильно n=3.$

Ответ: 3.

Примечание.

См. также задачи в номерах 620478, 620778, 506948 и 532959.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ответ: 3.

635568

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 411

Классификатор алгебры: Задачи о вкладах

Методы алгебры: Целочисленные уравнения в финансовой математике

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	635568	3.