РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 687520 Добавить в вариант

Источники:

Неравенства. Другие неравенства смешанного типа

Решите неравенство: $дробь: числитель: 4 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка , знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 1 конец дроби меньше или равно 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка .$

Решение. Разложим на множители разность левой и правой частей неравенства:

$дробь: числитель: 4 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка , знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 1 конец дроби минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: конец дроби 5 в степени левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 1 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 5 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка конец дроби минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: конец дроби 5 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка дробь: числитель: 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 5 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка конец дроби .$ $дробь: числитель: 4 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка , знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 1 конец дроби минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: конец дроби 5 в степени левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 1 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 5 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка конец дроби минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= 5 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: конец дроби 5 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка дробь: числитель: 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 5 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка конец дроби .$ $дробь: числитель: 4 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка , знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 1 конец дроби минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: конец дроби 5 в степени левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 1 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 5 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка конец дроби минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= 5 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: конец дроби 5 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка дробь: числитель: 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 5 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка конец дроби .$ $дробь: числитель: 4 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка , знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 1 конец дроби минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: конец дроби 5 в степени левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 1 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: 5 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка конец дроби минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= 5 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: конец дроби 5 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =$
$= 5 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка дробь: числитель: 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 5 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка конец дроби .$

Областью определения выражения $5 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка$ является множество неотрицательных чисел. На этом множестве определено и выражение $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка .$ На области определения выражение $5 в степени левая круглая скобка корень из x правая круглая скобка$ положительно, а потому на него можно разделить, не меняя знака неравенства. Применим метод рационализации:

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 5 в степени 0 , знаменатель: 5 в степени 1 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 0,5 минус 1 правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка 5 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента минус 0 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 5 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x минус 0,5 правая круглая скобка дробь: числитель: корень из x , знаменатель: 1 минус корень из: начало аргумента: x конец аргумента конец дроби меньше или равно 0.$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 5 в степени 0 , знаменатель: 5 в степени 1 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 0,5 минус 1 правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка 5 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента минус 0 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 5 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x минус 0,5 правая круглая скобка дробь: числитель: корень из x , знаменатель: 1 минус корень из: начало аргумента: x конец аргумента конец дроби меньше или равно 0.$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 5 в степени 0 , знаменатель: 5 в степени 1 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 0,5 минус 1 правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка 5 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента минус 0 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 5 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 0,5 правая круглая скобка дробь: числитель: корень из x , знаменатель: 1 минус корень из: начало аргумента: x конец аргумента конец дроби меньше или равно 0.$

Методом интервалов (см. рис.), учитывая, что $x больше или равно 0,$ находим ответ: $0 меньше или равно x меньше или равно 0,5$ или $x больше 1.$

Ответ: $левая квадратная скобка 0; 0,5 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Приведем другое решение.

Преобразуем неравенство:

$равносильно дробь: числитель: 4 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка , знаменатель: 5 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка конец дроби меньше или равно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 5 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка минус 5 в степени 0 правая круглая скобка , знаменатель: 5 в степени 1 минус 5 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента минус 0 правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус корень из: начало аргумента: x конец аргумента конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: x логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус корень из: начало аргумента: x конец аргумента конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: x левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: 1 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: x конец аргумента конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно система выражений дробь: числитель: x левая круглая скобка x плюс 0,5 минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус x конец дроби меньше или равно 0,x плюс 0,5 больше 0,x больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: x левая круглая скобка x минус 0,5 правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус x конец дроби меньше или равно 0,x больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений 0 меньше или равно x меньше или равно 0,5,x больше 1, конец системы . x больше или равно 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше или равно x меньше или равно 0,5,x больше 1. конец совокупности .$ $равносильно система выражений дробь: числитель: x левая круглая скобка x плюс 0,5 минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус x конец дроби меньше или равно 0,x плюс 0,5 больше 0,x больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: x левая круглая скобка x минус 0,5 правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус x конец дроби меньше или равно 0,x больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений 0 меньше или равно x меньше или равно 0,5,x больше 1, конец системы . x больше или равно 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше или равно x меньше или равно 0,5,x больше 1. конец совокупности .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источники:

А. Ларин. Тренировочный вариант № 387;

А. Ларин. Тренировочный вариант № 509.

Ключ