PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SC.
а) Докажите, что прямые SB и MK перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB = 8, SC = 6.
Решение. а) Заметим, что
как средняя линия треугольника ASC. Проекция прямой SB на плоскость ABC это прямая OB, где O - основание высоты пирамиды. 
так как диагонали квадрата перпендикулярны. Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, 
а значит и 
б) Проведём из точки B перпендикуляр BQ к MK, Q — середина MK. Точка Q является серединой высоты SO. Прямая MK параллельна прямой пересечения плоскостей, QB⊥MK, OB⊥MK. Следовательно, ∠QBO — линейный угол искомого угла. Найдём QO.
Значит, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
тогда, 
так как диагонали квадрата перпендикулярны. Поэтому, по теореме о трех перпендикулярах, 
— середина 
Точка Q является серединой высоты 
Прямая MK параллельна прямой пересечения плоскостей, 
Следовательно, 
— линейный угол искомого угла. Найдём 
считая от вершины S. 
Что и требовалось доказать.
Следовательно, 
— искомый линейный угол. Найдем QO:
