PDF-версии: 
В остроугольном треугольнике ABC 
Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около 
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь 
если 
Решение. Точки M и N лежат на окружности с диаметром BC, поэтому
Значит, треугольники ANM и ABC подобны с коэффициентом подобия 
Следовательно, радиус окружности, описанной около треугольника ANM, равен 
Точки M и N лежат на окружности с диаметром AH, поэтому
б) Сумма углов треугольника 
равна 180°, поэтому 
Тогда 
(центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу). Тогда из суммы углов равнобедренного треугольника AOB: 
Поэтому
Имеем: 
По теореме синусов для треугольника ABC:
Откуда 
и 
Ответ: б) 
Примечание Дмитрия Гущина.
Задания, в которых требуется использовать связь между стороной треугольника и расстоянием от противолежащей ей вершины до ортоцентра встречаются на ЕГЭ не первый раз. См., например, задание 519475
Найдем радиус описанной окружности по теореме синусов: 
воспользуемся формулой для расстояния от вершины до ортоцентра 
Полученные величины равны, что и требовалось доказать.
Приведём другое решение пункта а).
а) Высоты треугольника пересекаются в одной точке, поэтому высота AK проходит через точку H. Пусть 
Тогда 
Сумма острых углов прямоугольного треугольника ACM равна 90°, поэтому 
Тогда 
поскольку катет, лежащий против угла в 30°, в два раза меньше гипотенузы. Сумма острых углов прямоугольного треугольника AKB равна 90°, поэтому 
По теореме синусов для треугольника ABC: 
где R — радиус описанной вокруг треугольника ABC окружности. Откуда 
Ранее мы получили: 
Следовательно, 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |