Точки M и N лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром BC, по­это­му Зна­чит, тре­уголь­ни­ки ANM и ABC по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия

Сле­до­ва­тель­но, ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ANM, равен Точки M и N лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром AH, по­это­му

б)  Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, по­это­му Тогда (цен­траль­ный угол в два раза боль­ше впи­сан­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу). Тогда из суммы углов рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AOB: По­это­му

Имеем: По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC:

От­ку­да и

Ответ: б)

При­ме­ча­ние Дмит­рия Гу­щи­на.

За­да­ния, в ко­то­рых тре­бу­ет­ся ис­поль­зо­вать связь между сто­ро­ной тре­уголь­ни­ка и рас­сто­я­ни­ем от про­ти­во­ле­жа­щей ей вер­ши­ны до ор­то­цен­тра встре­ча­ют­ся на ЕГЭ не пер­вый раз. См., на­при­мер, за­да­ние 519475 (2018 год), за­да­ние 505425 (2014 год) и за­да­ния в этом за­дач­ни­ке. Ис­поль­зу­ем эти зна­ния для ре­ше­ния пунк­та а).

Най­дем ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти по тео­ре­ме си­ну­сов: вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой для рас­сто­я­ния от вер­ши­ны до ор­то­цен­тра По­лу­чен­ные ве­ли­чи­ны равны, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние пунк­та а).

а)  Вы­со­ты тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке, по­это­му вы­со­та AK про­хо­дит через точку H. Пусть Тогда Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ACM равна 90°, по­это­му Тогда по­сколь­ку катет, ле­жа­щий про­тив угла в 30°, в два раза мень­ше ги­по­те­ну­зы. Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AKB равна 90°, по­это­му По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC: где R  — ра­ди­ус опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти. От­ку­да Ранее мы по­лу­чи­ли: Сле­до­ва­тель­но, то есть