Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 526342

В остроугольном треугольнике ABC, \angle A=60 в степени circ. Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около \Delta ABC.

а) Докажите, что AH=AO.

б) Найдите площадь \Delta AHO, если BC=6 корень из { 3}, \angle ABC = 45 в степени circ.

Решение.

Точки M и N лежат на окружности диаметром BC, поэтому \angle ANM = 180 в степени circ минус \angle MNC = \angle ABC. Значит, треугольники ANM и ABC подобны с коэффициентом подобия  дробь, числитель — AM, знаменатель — AC = косинус \angle BAC = косинус 60 в степени circ = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

Следовательно, радиус окружности, описанной около треугольника ANM, равен  дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AO. Точки M и N лежат на окружности диаметром AH, поэтому AH=AO.

б) Сумма углов треугольника ABC равна 180°, поэтому \angle ACB=75 в степени circ. Тогда \angle AOB=150 в степени circ (центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу). Тогда из суммы углов равнобедренного треугольника AOB: \angle OAB=15 в степени circ. Поэтому

\angle HAO=\angle CAB минус \angle CAH минус \angle OAB=60 в степени circ минус 15 в степени circ минус 15 в степени circ=30 в степени circ.

Имеем: S_{AHO}= дробь, числитель — AH умножить на AO умножить на синус {30 в степени circ}, знаменатель — 2 = дробь, числитель — R в степени 2 , знаменатель — 4 . По теореме синусов для треугольника ABC:

 дробь, числитель — BC, знаменатель — синус {\angle CAB }= дробь, числитель — 6 корень из { 3}, знаменатель — синус {60 в степени circ }=12=2R.

Откуда R=6 и S_{AHO}=9.

 

Ответ: б) 9.

 

 

Примечание Дмитрия Гущина.

Задания, в которых требуется использовать связь между стороной треугольника и расстоянием от противолежащей ей вершины до ортоцентра встречаются на ЕГЭ не первый раз. См., например, задание 519475 (2018 год), задание 505425 (2014 год) и задания в этом задачнике. Используем эти знания для решения пункта а).

Найдем радиус описанной окружности по теореме синусов: AO = дробь, числитель — BC, знаменатель — 2 синус 60 в степени circ = дробь, числитель — BC, знаменатель — корень из { 3 }, воспользуемся формулой для расстояния от вершины до ортоцентра AH = дробь, числитель — BC, знаменатель — тангенс 60 в степени circ = дробь, числитель — BC, знаменатель — корень из { 3 }. Полученные величины равны, что и требовалось доказать.

 

 

Приведём другое решение пункта а).

а) Высоты треугольника пересекаются в одной точке, поэтому высота AK проходит через точку H. Пусть AH=x, \angle HAM=\alpha. Тогда AM=x косинус {\alpha}. Сумма острых углов прямоугольного треугольника ACM равна 90°, поэтому \angle ACM=30 в степени circ. Тогда AC=2AM=2x косинус {\alpha}, т.к. катет, лежащий против угла в 30°, в два раза меньше гипотенузы. Сумма острых углов прямоугольного треугольника AKB равна 90°, поэтому \angle ABK=90 в степени circ минус \alpha. По теореме синусов для треугольника ABC:  дробь, числитель — AC, знаменатель — синус {\angle ABC }= дробь, числитель — AC, знаменатель — синус {(90 в степени \circ минус \alpha) }= дробь, числитель — AC, знаменатель — косинус {\alpha }=2R, где R − радиус описанной вокруг треугольника ABC окружности. Откуда AC=2R косинус {\alpha}. Ранее мы получили: AC=2x косинус {\alpha}. Следовательно, x=R, т.е. AH=AO.

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 405, Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 409, Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019
Методы геометрии: Свойства ортоцентра, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники