Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 519475

В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.

а) Докажите, что угол ABC равен 120°.

б) Найдите BH, если AB = 7, BC = 8.

Решение.

а) Рассмотрим треугольник AHC. В нем AA1 и CC1 — высоты. Тупой угол между высотами дополняет угол между сторонами, к которым они проведены, до 180°. Поэтому  \widehat{ABC} = 180 в степени circ минус \widehat{AHC}=120 в степени circ.

б) Рассмотрим треугольник AHC, в нем BH=AC \ctg \widehat{AHC} = дробь, числитель — AC, знаменатель — корень из { 3 }. Сторону AC найдём по теореме косинусов:

AC в степени 2 =AB в степени 2 плюс BC в степени 2 минус 2 умножить на AB умножить на BC умножить на косинус \widehat{ABC}=49 плюс 64 минус 2 умножить на 7 умножить на 8 умножить на левая круглая скобка минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка =113 плюс 56=169.

Тем самым,  AC=13,BH= дробь, числитель — 13, знаменатель — корень из { 3 }.

 

Ответ: б)  дробь, числитель — 13, знаменатель — корень из { 3 }.

 

Докажем утверждение, использованное при решении пункта а).

В четырехугольнике HC_1BA_1 сумма прямых углов HC_1B и HA_1B равна 180°, поэтому сумма двух других углов C_1HA_1 и C_1BA_1 также равна 180°. Тогда \angle C_1BA_1 = 180 в степени circ минус \angle C_1HA_1. Углы C_1BA_1 и ABC равны как вертикальные, поэтому  \angle ABC плюс \angle C_1HA_1 = 180 в степени circ. Таким образом, тупой угол между высотами дополняет угол между сторонами, к которым они проведены, до 180°.

 

Сформулируем теорему, которую мы применили для решения пункта б).

Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения его высот равно произведению стороны, противолежащей этой вершине, на котангенс угла при этой вершине. Действительно, пусть высоты AA1, BB1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке H. Стороны прямоугольных треугольников АСС1 и ВНС1 взаимно перпендикулярны, а потому их острые углы АСС1 и ВНС1 равны. Следовательно, эти треугольники подобны. Тогда  дробь, числитель — HB, знаменатель — AC = дробь, числитель — HC_1, знаменатель — CC_1 =\ctg \widehat{C_1HC}= \ctg \widehat{AHC}, откуда  HB =AC \ctg \widehat{AHC}. Для остроугольного треугольника доказательство аналогично. Для прямоугольного треугольника доказательство напрямую следует из определения котангенса.

Рекомендуем сравнить эту задачу с заданием 505425 из экзаменационного варианта ЕГЭ 2014 года.

 

 

Приведем другое решение пункта б):

Рассмотрим треугольник C1CH, заметим, что угол C1CH равен 30°. Поэтому в прямоугольном треугольнике CBA1 катет BA1 вдвое меньше гипотенузы: BA1 = 4. Значит, АA1 = 11. Из треугольника AA1H находим HA_1=AA_1 \ctg 60 в степени circ= дробь, числитель — 11, знаменатель — корень из 3 . Теперь по теореме Пифагора вычисляем:

BH= корень из { BA_1 в степени 2 плюс HA_1 в степени 2 }= корень из { 16 плюс дробь, числитель — 121, знаменатель — 3 }= дробь, числитель — 13, знаменатель — корень из { 3 }.

 

Приведем ещё одно решение пункта б):

Заметим, что в треугольнике АНС точка В — ортоцентр. В силу свойства ортоцентра AB умножить на BA_1 = HB умножить на BB_1, откуда получаем: HB= дробь, числитель — AB умножить на BA_1, знаменатель — BB_1 (это же следует из подобия треугольников ABB_1 и BCA_1).

Из прямоугольного треугольника CBA1 находим катет BA1, противолежащий углу в 30°: BA1 = 4. Из треугольника АВС находим высоту:

BB_1= дробь, числитель — 2S_{ABC}, знаменатель — AC = дробь, числитель — 2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 7 умножить на 8 умножить на синус 120 в степени circ, знаменатель — 13 = дробь, числитель — 28 корень из 3 , знаменатель — 13 .

Тогда HB= дробь, числитель — 7 умножить на 4, знаменатель — \dfrac{28 корень из 3 {13}}= дробь, числитель — 13, знаменатель — корень из 3 .
Источник: Досрочный ЕГЭ по математике (Центр) 30.03.2018
Методы геометрии: Свойства ортоцентра, Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства