СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 519475

В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.

а) Докажите, что угол ABC равен 120°.

б) Найдите BH, если

Решение.

а) Рассмотрим треугольник AHC. В нем AA1 и CC1 — высоты. Тупой угол между высотами дополняет угол между сторонами, к которым они проведены, до 180°. Поэтому .

б) Рассмотрим треугольник AHC, в нем . Сторону AC найдём по теореме косинусов:

Тем самым,

 

Ответ: б)

 

Сформулируем теорему, которую мы применили для решения пункта б).

Расстояние от вершины треугольника до точки H пересечения его высот AA1, BB1, CC1 равно произведению стороны, противолежащей этой вершине, на котангенс угла при этой вершине. Эту теорему можно доказать, рассматривая треугольники АСС1 и ВНС1. В силу их подобия имеем: откуда

Рекомендуем сравнить эту задачу с заданием 505425 из экзаменационного варианта ЕГЭ 2014 года.

 

 

Приведем другое решение пункта б):

Рассмотрим треугольник C1CH, заметим, что угол C1CH равен 30°. Поэтому в прямоугольном треугольнике CBA1 катет BA1 вдвое меньше гипотенузы: BA1 = 4. Значит, АA1 = 11. Из треугольника AA1H находим Теперь по теореме Пифагора вычисляем:

 

Приведем ещё одно решение пункта б):

Заметим, что в треугольнике АНС точка В — ортоцентр. В силу свойства ортоцентра откуда получаем: (это же следует из подобия треугольников и ).

Из прямоугольного треугольника CBA1 находим катет BA1, противолежащий углу в 30°: BA1 = 4. Из треугольника АВС находим высоту:

Тогда
Источник: Досрочный ЕГЭ по математике (Центр) 30.03.2018
Методы геометрии: Свойства ортоцентра, Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства