а)  В четырёхуголь­ни­ке AC₁HB₁ углы C₁ и B₁  — пря­мые, сле­до­ва­тель­но, около этого четырёхуголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность, причём AH  — её диа­метр (впи­сан­ные пря­мые углы опи­ра­ют­ся на диа­метр). Впи­сан­ные углы AC₁B₁ и AHB₁ опи­ра­ют­ся на одну дугу, сле­до­ва­тель­но, ∠AHB₁ = ∠AC₁B₁.

Углы BC₁C и BB₁C  — пря­мые, зна­чит, точки B, C, B₁ и C₁ лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром BC. Сле­до­ва­тель­но,

По­лу­ча­ем, что ∠ACB = ∠AHB₁.

б)  В тре­уголь­ни­ке AB₁C₁ диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти AH  =  4, от­ку­да

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BB₁A имеем:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CC₁A имеем:

По­лу­ча­ем, что Тре­уголь­ни­ки ABC и AB₁C₁ имеют общий угол A и сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны. Тогда Зна­чит,

Ответ:

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) То­фи­га Али­е­ва.

В четырёхуголь­ни­ке AC₁HB₁ углы C₁ и B₁  — пря­мые, сле­до­ва­тель­но, около этого четырёхуголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность, причём AH  — её диа­метр. Эта окруж­ность опи­са­на также во­круг тре­уголь­ни­ка C₁AB₁, тогда по тео­ре­ме си­ну­сов от­ку­да

Как до­ка­за­но в ос­нов­ном ре­ше­нии, тре­уголь­ни­ки C₁AB₁ и ABC по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия cos ∠A, тогда

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Юлии Еро­хи­ной.

6)  В тре­уголь­ни­ке AB₁C₁ диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти AH  =  4, от­ку­да

По до­ка­зан­но­му в пунк­те а) че­ты­рех­уголь­ник B₁C₁BC впи­сан в окруж­ность с диа­мет­ром BC. В эту же окруж­ность впи­сан тре­уголь­ник B₁C₁B, тогда по тео­ре­ме си­ну­сов

Най­дем угол C₁BB₁ из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABB₁:

тогда:

При­ме­ча­ние Дмит­рия Гу­щи­на.

Ука­жем дру­гое ре­ше­ние.

а)  По­сколь­ку AA₁  — пер­пен­ди­ку­ляр к ВС, а BB₁  — пер­пен­ди­ку­ляр к AС (см. рис.), углы AHB₁ и ACB равны как ост­рые углы со вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми.

б)  Сто­ро­на тре­уголь­ни­ка, ве­ли­чи­на про­ти­во­ле­жа­ще­го ей угла и от­ре­зок вы­со­ты, про­ведённой из вер­ши­ны этого угла в точку пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка, свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем: от­ку­да

При­ме­ча­ние.

По­лез­но будет срав­нить эту за­да­чу с за­да­ни­ем 519475 из эк­за­ме­на­ци­он­но­го ва­ри­ан­та ЕГЭ 2014 года, за­да­ни­ем 519475 из ЕГЭ−2018, за­да­ни­ем 526342 из ЕГЭ−2019, за­да­ни­ем 656585 из ЕГЭ−2024.