Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 505425

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.

б) Найдите BC, если AH = 4 и ∠BAC = 60°.

Решение.

а) В четырёхугольнике AC1HB1 углы C1 и B1 — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Вписанные углы AC1B1 и AHB1 опираются на одну дугу, следовательно, ∠AHB1 = ∠AC1B1.

Углы BC1C и BB1C — прямые, значит, точки B, C, B1 и C1 лежат на окружности с диаметром BC. Следовательно,

\angle AC_1B_1=180 в степени circ минус \angle BC_1B_1=\angle BCB_1.

Получаем, что ∠ACB = ∠AHB1.

б) В треугольнике AB1C1 диаметр описанной окружности AH = 4, откуда

B_1C_1=AH умножить на синус \angle BAC=AH умножить на синус 60 в степени circ=2 корень из 3 .

В прямоугольном треугольнике BB1A имеем:

AB_1=AB косинус \angle BAB_1=AB косинус 60 в степени circ= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AB.

В прямоугольном треугольнике CC1A имеем:

AC_1=AC косинус \angle CAC_1=AC умножить на косинус 60 в степени circ= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AC.

Получаем, что  дробь, числитель — AB, знаменатель — AB_1 = дробь, числитель — AC, знаменатель — AC_1 . Треугольники ABC и AB1C1 имеют общий угол A и  дробь, числитель — AB, знаменатель — AB_1 = дробь, числитель — AC, знаменатель — AC_1 , следовательно, они подобны. Тогда  дробь, числитель — BC, знаменатель — B_1C_1 = дробь, числитель — AC, знаменатель — AC_1 =2. Значит,

BC=2B_1C_1=4 корень из { 3}.

 

Ответ: 4 корень из { 3}.

 

Примечание Дмитрия Гущина.

Укажем другое решение.

а) Поскольку AA1 — перпендикуляр к ВС, а BB1 — перпендикуляр к (см. рис.), углы AHB1 и ACB равны как острые углы со взаимно перпендикулярными сторонами.

б) Сторона треугольника, величина противолежащего ей угла и отрезок высоты, проведённой из вершины этого угла в точку пересечения высот треугольника, связаны соотношением: BC = AH тангенс A, откуда BC = 4 тангенс 60 в степени circ = 4 корень из 3 .

 

Приведем решение пункта б) Тофига Алиева.

В четырёхугольнике AC1HB1 углы C1 и B1 — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Эта окружность описана также вокруг треугольника C1HB1, тогда по теореме синусов  дробь, числитель — B_1C_1, знаменатель — синус \angle A =2R=AH, откуда B_1C_1=AH синус \angle A = 4 умножить на дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 =2 корень из { 3}.

Как доказано в основном решении, треугольники C1HB1 и ABC подобны с коэффициентом подобия cos ∠A, тогда BC= дробь, числитель — B_1C_1, знаменатель — косинус \angle A = дробь, числитель — 2 корень из { 3}, знаменатель — дробь, числитель — 1 {2, знаменатель — } =4 корень из { 3}.

 

Примечание.

Рекомендуем сравнить эту задачу с заданием 519475 из экзаменационного варианта ЕГЭ 2018 года.


Аналоги к заданию № 505425: 505419 505452 511406 Все

Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Запад. Вариант 302.
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства