Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Найдите BC, если AH = 4 и ∠BAC = 60°.
а) В четырёхугольнике AC1HB1 углы C1 и B1 — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр (вписанные прямые углы опираются на диаметр). Вписанные углы AC1B1 и AHB1 опираются на одну дугу, следовательно, ∠AHB1 = ∠AC1B1.
Углы BC1C и BB1C — прямые, значит, точки B, C, B1 и C1 лежат на окружности с диаметром BC. Следовательно,
Получаем, что ∠ACB = ∠AHB1.
б) В треугольнике AB1C1 диаметр описанной окружности AH = 4, откуда
В прямоугольном треугольнике BB1A имеем:
В прямоугольном треугольнике CC1A имеем:
Получаем, что 
Треугольники ABC и AB1C1 имеют общий угол A и 
следовательно, они подобны. Тогда 
Значит,
Ответ: 
Приведем решение пункта б) Тофига Алиева.
В четырёхугольнике AC1HB1 углы C1 и B1 — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Эта окружность описана также вокруг треугольника C1AB1, тогда по теореме синусов 
откуда 
Как доказано в основном решении, треугольники C1AB1 и ABC подобны с коэффициентом подобия cos ∠A, тогда
Приведем решение пункта б) Юлии Ерохиной.
6) В треугольнике AB1C1 диаметр описанной окружности AH = 4, откуда
По доказанному в пункте а) четырехугольник B1C1BC вписан в окружность с диаметром BC. В эту же окружность вписан треугольник B1C1B, тогда по теореме синусов
Найдем угол C1BB1 из прямоугольного треугольника ABB1:
тогда:
Примечание Дмитрия Гущина.
Укажем другое решение.
а) Поскольку AA1 — перпендикуляр к ВС, а BB1 — перпендикуляр к AС (см. рис.), углы AHB1 и ACB равны как острые углы со взаимно перпендикулярными сторонами.
б) Сторона треугольника, величина противолежащего ей угла и отрезок высоты, проведённой из вершины этого угла в точку пересечения высот треугольника, связаны соотношением: 
откуда 
Примечание.
Полезно будет сравнить эту задачу с заданием 519475 из экзаменационного варианта ЕГЭ 2014 года, заданием 519475 из ЕГЭ−2018, заданием 526342 из ЕГЭ−2019, заданием 656585 из ЕГЭ−2024.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Высоты 
и 
остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке 
а) Докажите, что 
б) Найдите BC, если 
и 
а) В четырёхугольнике
углы 
и 
— прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Вписанные углы 
и 
опираются на одну дугу, следовательно, 
Углы 
и 
— прямые, значит, точки 
и лежат на окружности с диаметром 
Следовательно,
Получаем, что 
б) В треугольнике 
диаметр описанной окружности 
откуда
В прямоугольном треугольнике 
имеем:
В прямоугольном треугольнике 
имеем:
Получаем, что Треугольники ABC и имеют общий угол A и следовательно, они подобны. Тогда Значит,
Ответ: 18.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Найдите BC, если 
и ∠BAC = 60°.
а) Заметим, что высота AA1 треугольника ABC проходит через точку H. В четырёхугольнике AC1HB1 углы C1 и B1 — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Вписанные углы AC1B1 и AHB1 опираются на одну дугу, следовательно, ∠AHB1 = ∠AC1B1.
Углы BC1C и BB1C — прямые, значит, точки B, C, B1 и C1 лежат на окружности с диаметром BC. Следовательно,
Получаем, что ∠ACB = ∠AHB1.
б) В треугольнике AB1C1 диаметр описанной окружности 
откуда
В прямоугольном треугольнике BB1A имеем:
В прямоугольном треугольнике CC1A имеем:
Получаем, что Треугольники ABC и AB1C1 имеют общий угол A и следовательно, они подобны. Тогда Значит, BC = 2B1C1 = 24.
Ответ: б) 24.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Найдите BC, если AH = 21 и ∠BAC = 30°.
а) Поскольку AA1 — перпендикуляр к ВС, а BB1 — перпендикуляр к AС (см. рис.), углы AHB1 и ACB равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.
б) Сторона треугольника, величина противолежащего ей угла и отрезок высоты, проведённой из вершины этого угла в точку пересечения высот треугольника, связаны соотношением: 
Ответ: 
Приведём авторское решение.
а) В четырёхугольнике углы и — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Вписанные углы и опираются на одну дугу, следовательно,
Углы и — прямые, значит, точки и лежат на окружности с диаметром Следовательно,
Получаем, что
б) В треугольнике диаметр описанной окружности 
откуда
В прямоугольном треугольнике имеем:
В прямоугольном треугольнике имеем:
Получаем, что Треугольники ABC и имеют общий угол A и следовательно, они подобны. Тогда 
Значит,
Приведём решение Егора Валяева из Альметьевска.
а) Рассмотрим треугольник B1AH. Пусть угол AHB1 равен α, тогда ∠HAB1 = 90° − α. Опустим из точки A высоту AA1 на сторону BC. Рассмотрим треугольник AA1C, в котором ∠A1CA = 180° − ∠AA1C − ∠A1AC (углы HAB1 и A1AC равны и ∠A1AC = 90° − α). Вычислим угол A1CA = 180° − 90° − (90° − α) = α, следовательно, ∠ACB = ∠A1CA = α = ∠AHB1.
б) Рассмотрим треугольник B1AB, в нем ∠BAB1 = 30°, откуда получаем: 
а значит, 
и 
откуда 
Рассмотрим теперь треугольник AHB1 и заметим, что 
Наконец, рассмотрим треугольник B1BC: в нем 
Так как из пункта а) известно, что углы BCB1, ACB и AHB1 равны, имеем:
Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что 
б) Найдите длину отрезка BC, если 
а) Заметим, что высота AA1 треугольника ABC проходит через точку H. В четырёхугольнике AC1HB1 углы C1 и B1 — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Вписанные углы AC1B1 и AHB1 опираются на одну дугу, следовательно, ∠AHB1 = ∠AC1B1.
Углы BC1C и BB1C — прямые, значит, точки B, C, B1 и C1 лежат на окружности с диаметром BC. Следовательно,
Получаем, что 
б) В треугольнике AB1C1 диаметр описанной окружности 
откуда
В прямоугольном треугольнике BB1A имеем:
В прямоугольном треугольнике CC1A имеем:
Получаем, что 
Треугольники ABC и AB1C1 имеют общий угол A и 
следовательно, они подобны. Тогда
Значит, 
Ответ: б) 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Наверх