Ре­ше­ние. а)  Пусть тогда от­ку­да или

Далее имеем:

б)  Корни, ле­жа­щие на за­дан­ном про­ме­жут­ке, от­бе­рем на три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). По­лу­чим

Ответ: a)    б)

Ре­ше­ние. а)  Спро­ек­ти­ру­ем на­клон­ную на плос­кость ее про­ек­ци­ей яв­ля­ет­ся пря­мая  Так как по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, сле­ду­ет, что Таким об­ра­зом, в пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­на­ли пер­пен­ди­ку­ляр­ны, по­это­му он яв­ля­ет­ся квад­ра­том, сле­до­ва­тель­но,

б)  Из п. а) сле­ду­ет, что и пе­ре­се­ка­ет­ся с ней в се­ре­ди­не Пусть M  — се­ре­ди­на тогда ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно рас­сто­я­нию между про­ек­ци­я­ми пря­мых на плос­кость то есть рас­сто­я­нию от точки M до пря­мой Это рас­сто­я­ние равно по­ло­ви­не вы­со­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка про­ведённой к ги­по­те­ну­зе:

Ответ: б)

При­ве­дем дру­гой спо­соб ре­ше­ния для п. а).

Если то ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке C. Пусть тогда по­лу­чим ко­ор­ди­на­ты век­то­ров и По усло­вию а зна­чит, что это воз­мож­но, когда то есть при или од­на­ко, ввиду того, как вве­де­на си­сте­ма ко­ор­ди­нат, a и b имеют оди­на­ко­вые знаки, зна­чит, тогда

Ре­ше­ние. Пусть тогда

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что так как линия цен­тров со­дер­жит бис­сек­три­сы рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков и Тогда

Зна­чит, тре­уголь­ни­ки CBD и по­доб­ны по двум углам.

б)  Из ра­вен­ства углов сле­ду­ет па­рал­лель­ность пря­мых: Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем: Зна­чит, а AE  — диа­метр окруж­но­сти. По усло­вию тогда

а по­то­му рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны. Зна­чит, от­ку­да

Ответ: 9.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та б).

Пусть r  — ра­ди­ус пер­вой окруж­но­сти, тогда 3r  — ра­ди­ус вто­рой. Тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный, в нем сто­ро­на AB  =  3 по усло­вию, сто­ро­на AC  =  2r как диа­метр окруж­но­сти, В тре­уголь­ни­ке  DAO₂ из­вест­ны сто­ро­ны: По тео­ре­ме ко­си­ну­сов на­хо­дим:

По усло­вию зна­чит, равны и ко­си­ну­сы этих углов, а по­то­му от­ку­да

Ре­ше­ние. По фор­му­ле для пе­ре­пла­ты П при вы­пла­те суммы кре­ди­та S диф­фе­рен­ци­ро­ван­ны­ми пла­те­жа­ми имеем:

где n  — ис­ко­мое число ме­ся­цев, а r  =  3  — ве­ли­чи­на пла­теж­ной став­ка в про­цен­тах (см. Гущин Д. Д. «Встре­чи с фи­нан­со­вой ма­те­ма­ти­кой»; для по­лу­че­ния пол­но­го балла до­ка­за­тель­ства этих фор­мул не­об­хо­ди­мо при­во­дить на эк­за­ме­не). По усло­вию пе­ре­пла­та  П равна 0,3S, тогда

от­ку­да n  =  19.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та S вы­пла­чи­ва­ет­ся за n ме­ся­цев.

Долг умень­ша­ет­ся на 15-е число рав­но­мер­но:

Пер­во­го числа долг воз­рас­та­ет на 3%, зна­чит, он со­став­ля­ет:

Вы­пла­ты:

Сумма вы­плат будет равна

Тогда

Ответ: 19.

Ре­ше­ние. Имеем урав­не­ние вида от­ку­да на ОДЗ либо либо Рас­смот­рим эти слу­чаи.

Пер­вый слу­чай. при усло­ви­ях:

Имеем:

Число лежит на от­рез­ке [0; 2], если Тогда для пер­во­го слу­чая по­лу­ча­ем:

Вто­рой слу­чай. при усло­вии

Число лежит на от­рез­ке [0; 2], если Тогда для вто­ро­го слу­чая по­лу­ча­ем:

Ко­рень равен если

Итак, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 2] при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, если 20 сту­ден­тов пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 18 бал­лов за каж­дую, 4 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко первую кон­троль­ную ра­бо­ту и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов, 4 сту­ден­та пи­са­ли толь­ко вто­рую кон­троль­ную ра­бо­ту и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов, то сред­ний балл по каж­дой из кон­троль­ных работ в от­дель­но­сти со­ста­вил 15, а

б)  По­сколь­ку сред­ние баллы по каж­дой кон­троль­ной в от­дель­но­сти равны 15, сред­ний балл по обеим кон­троль­ным ра­бо­там тоже равен 15. Всего было на­пи­са­но 28 + 2  =  30 кон­троль­ных работ. Зна­чит, общее ко­ли­че­ство на­бран­ных сту­ден­та­ми бал­лов равно При этом сумма наи­выс­ших бал­лов равна 13 · 28  =  364. Сле­до­ва­тель­но, сумма наи­мень­ших бал­лов, на­бран­ных двумя сту­ден­та­ми, пи­сав­ши­ми обе ра­бо­ты, равна 450 − 364  =  86. Но сумма наи­мень­ших бал­лов двух сту­ден­тов не может пре­вос­хо­дить 40. Про­ти­во­ре­чие.

в)  Пусть k  — ко­ли­че­ство сту­ден­тов, пи­сав­ших обе кон­троль­ные ра­бо­ты, a  — сумма бал­лов сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли толь­ко одну кон­троль­ную ра­бо­ту, b  — сумма наи­боль­ших бал­лов сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты, c  — сумма наи­мень­ших бал­лов сту­ден­тов, ко­то­рые пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты.

Тогда сумма всех на­бран­ных бал­лов: сумма наи­выс­ших бал­лов Тогда С дру­гой сто­ро­ны, по­это­му от­ку­да

При­ведём при­мер, когда то есть если На­при­мер, 11 сту­ден­тов на­пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты на 20  бал­лов, один сту­дент на­пи­сал обе кон­троль­ные, по­лу­чив за первую 20  бал­лов, а за вто­рую 16  бал­лов, 8 сту­ден­тов пи­са­ли толь­ко первую кон­троль­ную, при­чем 3 из них на­пи­са­ли ее на 20  бал­лов, а 5 из них  — на 0  бал­лов, и 8 сту­ден­тов пи­са­ли толь­ко вто­рую кон­троль­ную, каж­дый на 8  бал­лов. Тогда обе кон­троль­ные пи­са­ли по 20  сту­ден­тов, на­брав за первую 3 · 20 + 12 · 20  =  300 бал­лов и за вто­рую 8 · 8 + 11 · 20 + 16  =  300 бал­лов.

Ответ: а)  на­при­мер, если 20 сту­ден­тов на­пи­са­ли обе кон­троль­ные ра­бо­ты и по­лу­чи­ли по 18 бал­лов, а по 4 сту­ден­та на­пи­са­ли толь­ко одну из двух кон­троль­ных работ и по­лу­чи­ли по 0 бал­лов; б)  нет; в)  12.