Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Грань ACC₁A₁ яв­ля­ет­ся квад­ра­том.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые CA₁ и AB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми CA₁ и AB₁, если AC  =  4, BC  =  7.

Дана четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да SABCD с пря­мо­уголь­ни­ком ABCD в ос­но­ва­нии. Сто­ро­на AB равна а BC равна 6. Вер­ши­на пи­ра­ми­ды про­ек­ти­ру­ет­ся в точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей пря­мо­уголь­ни­ка. Из вер­шин A и C на ребро SB опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры AP и CQ.

а)  До­ка­жи­те, что точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка BQ.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми SBA и SBC, если ребро SD равно 9.

Дана четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да SABCD с пря­мо­уголь­ни­ком ABCD в ос­но­ва­нии. Сто­ро­на AB равна 4, а BC равна Вер­ши­на пи­ра­ми­ды S про­еци­ру­ет­ся в точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей пря­мо­уголь­ни­ка. Из вер­ши­ны A и C на ребро SB опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры AP и CQ.

а)  До­ка­жи­те, что точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка BQ.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми SBA и SBC, если ребро SD равно 8.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Диа­го­на­ли бо­ко­вых гра­ней и равны 15 и 9 со­от­вет­ствен­но,

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды

Дана пи­ра­ми­да PABCD, в ос­но­ва­нии  — тра­пе­ция ABCD с боль­шим ос­но­ва­ни­ем AD. Из­вест­но, что сумма углов BAD и ADC равна 90°, а плос­ко­сти PAB и PCD пер­пен­ди­ку­ляр­ны ос­но­ва­нию, пря­мые AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K.

а)  До­ка­зать, что плос­кость PAB пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти PCD.

б)  Най­ди­те объём PKBC, если AB  =  BC  =  CD  =  2, а PK  =  12.

Дана пи­ра­ми­да PABCD, в ос­но­ва­нии  — тра­пе­ция ABCD с боль­шим ос­но­ва­ни­ем AD. Из­вест­но, что сумма углов BAD и ADC равна 90 гра­ду­сов, а плос­ко­сти PAB и PCD пер­пен­ди­ку­ляр­ны ос­но­ва­нию, пря­мые AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K.

а)  До­ка­зать, что плос­кость PAB пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти PCD.

б)  Най­ди­те объём PKBC, если AB  =  BC  =  CD  =  3, а PK = 8.

Дана пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да SABCD с вер­ши­ной S. Точка M рас­по­ло­же­на на SD так, что SM : SD  =  2 : 3. P  — се­ре­ди­на ребра AD, а Q  — се­ре­ди­на ребра BC.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью MQP  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость MQP раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Пря­мые CA₁ и AB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  До­ка­жи­те, что AA₁  =  AC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми CA₁ и AB₁, если AC  =  6, BC  =  3.

На рёбрах AB и BC тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCD от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём AM : BM  =  CN : NB  =  1 : 2. Точки P и Q  — се­ре­ди­ны ребер DA и DC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что P, Q, M и N лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Найти от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость PQM раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

На реб­рах AB и BC тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCD от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём Точки P и Q  — се­ре­ди­ны сто­рон DA и DC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­зать, что P, Q, M и N лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Найти от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость PQM раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

На реб­рах AB и BC тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCD от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём Точки P и Q  — се­ре­ди­ны сто­рон DA и DC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­зать, что P, Q, M и N лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Найти от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость PQM раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Пря­мые CA₁ и AB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  До­ка­жи­те, что AA₁  =  AС.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми CA₁ и AB₁, если AC  =  7, BC  =  8.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC из­вест­ны бо­ко­вые рёбра: SA = SB =13, Ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся се­ре­ди­на ме­ди­а­ны CM тре­уголь­ни­ка ABC. Эта вы­со­та равна 12.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды SABC.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC из­вест­ны бо­ко­вые рёбра: Ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся се­ре­ди­на ме­ди­а­ны CM тре­уголь­ни­ка ABC. Эта вы­со­та равна 4.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды SABC.

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 6. Точки K, L и M  — цен­тры гра­ней ABCD, AA₁D₁D и CC₁D₁D со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что B₁KLM  — пра­виль­ная пи­ра­ми­да.

б)  Най­ди­те объём B₁KLM.

На рёбрах AB и BC тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCD от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём AM : BM  =  CN : NB  =  1 : 2. Точки P и Q  — се­ре­ди­ны ребер DA и DC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что P, Q, M и N лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Найти от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость PQM раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Диа­го­на­ли бо­ко­вых гра­ней и равны 15 и 9 со­от­вет­ствен­но,

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де PABC с ос­но­ва­ни­ем ABC из­вест­но, что AB  =  13, PB  =  15, Ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся точка C. Пря­мые PA и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды PABC.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де PABC с ос­но­ва­ни­ем ABC из­вест­но, что AB = 17, PB = 10, Ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся точка C. Пря­мые PA и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды PABC.