СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 517453

На ребрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.

а) Доказать, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найти отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

Решение.

а) Треугольник ABC подобен треугольнику MBN по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Тогда углы BAC и BMN равны, и AC || MN. Далее, PQ || AC поскольку является средней линией треугольника ADC. Значит, MN || PQ и поэтому P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Пусть объём ABCD равен V. Пятигранник APMCQN состоит из четырёхугольной пирамиды PACNM с основанием ACNM и треугольной пирамиды PQCN с основанием QCN. Выразим их объемы через V.

Расстояние от P до (BCD) вдвое меньше расстояния от A до (BCD), а площади треугольников QCN и BCD относятся как 1 : 8. Значит,

Площадь треугольника MBN составляет площади ABC. Значит, Расстояние от точки P до (ABC) вдвое меньше расстояния от D до (ABC), поэтому

Таким образом, то есть

 

Ответ: 9 : 23.


Аналоги к заданию № 517446: 517439 517453 Все

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 303 (C часть).