СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 517446

На рёбрах AB и BC тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCD от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём AM : BM = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q — се­ре­ди­ны сто­рон DA и DC со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что P, Q, M и N лежат в одной плос­ко­сти.

б) Найти от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость PQM раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

Решение.

а) Треугольник ABC подобен треугольнику MBN по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Тогда углы BAC и BMN равны, и AC || MN. Далее, PQ || AC поскольку является средней линией треугольника ADC. Значит, MN || PQ и поэтому P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Пусть объём ABCD равен V. Пятигранник APMCQN состоит из четырёхугольной пирамиды PACNM с основанием ACNM и треугольной пирамиды PQCN с основанием QCN. Выразим их объемы через V.

Расстояние от P до (BCD) вдвое меньше расстояния от A до (BCD), а площади треугольников QCN и BCD относятся как 1 : 6. Значит,

Площадь треугольника MBN составляет площади ABC. Значит, Расстояние от точки P до (ABC) вдвое меньше расстояния от D до (ABC), поэтому

Таким образом, то есть

 

Ответ: 13 : 23.


Аналоги к заданию № 517446: 517439 517453 Все

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 301 (C часть).
Классификатор стереометрии: Объем как сумма объемов частей, Объем тела, Сечение отсекает тело, Сечение, проходящее через три точки, Треугольная пирамида
Спрятать решение · ·
Saifer Art 09.02.2019 19:28

Смею напомнить, что название пирамиды начинается с вершины, не лежащей на плоскости основания, а не как вздумается, из-за этого возникают серьезные проблемы при попытке решения.

Служба поддержки

Основанием данной треугольной пирамиды можно считать любую грань. И решение от этого не зависит.