СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 517446

На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : BM = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.

а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

Решение.

а) Треугольник ABC подобен треугольнику MBN по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Тогда углы BAC и BMN равны, и AC || MN. PQ || AC поскольку является средней линией треугольника ADC. Значит, MN || PQ и поэтому P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Пусть объём ABCD равен V. Пятигранник APMNCQ состоит из четырёхугольной пирамиды PACNM с основанием ACNM и треугольной пирамиды PQCN с основанием QCN. Выразим их объемы через V.

Расстояние от P до BCD вдвое меньше расстояния от A до BCD, а площади треугольников QCN и BCD, по теореме об отношении площадей треугольников с равным углом, относятся как 1 : 6. Значит,

Площадь треугольника MBN составляет площади ABC. Значит, Расстояние от точки P до ABC вдвое меньше расстояния от D до ABC, поэтому

Таким образом, то есть

 

Ответ: 13 : 23.


Аналоги к заданию № 517446: 517439 517453 Все

Источник: Задания 14 (C2) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 301 (C часть).
Классификатор стереометрии: Объем как сумма объемов частей, Объем тела, Сечение отсекает тело, Сечение, проходящее через три точки, Треугольная пирамида
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Saifer Art 09.02.2019 19:28

Смею напомнить, что название пирамиды начинается с вершины, не лежащей на плоскости основания, а не как вздумается, из-за этого возникают серьезные проблемы при попытке решения.

Служба поддержки

Основанием данной треугольной пирамиды можно считать любую грань. И решение от этого не зависит.