Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым
а) Докажите, что прямые CA1 и AB1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC = 4, BC = 7.
а) Заметим, что B1C1 ⊥ C1A1 как катеты прямоугольного треугольника и B1C1 ⊥ C1C, поскольку призма прямая. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости 
Кроме того, 
как диагонали квадрата. Далее, AB1 — наклонная, AC1 — ее проекция на плоскость ACA1, 
— прямая в плоскости 
перпендикулярная проекции. По теореме о трёх перпендикулярах 
что и требовалось доказать.
б) Пусть точка M — середина AC1. Тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки M до прямой AB1, поскольку прямая A1C перпендикулярна плоскости AB1C1. Это расстояние равно половине высоты прямоугольного треугольника AB1C1, проведённой к гипотенузе, то есть
Ответ: б) 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
Введем прямоугольную систему координат с началом в
Скалярное произведение векторов CA1 и AB1 равно
следовательно, прямые
б) Поскольку a = AC = 4 и b = BC = 7, имеем:
Рассмотрим плоскость α, проходящую через AB1 и параллельную A1C. Вектор 
параллелен плоскости α, а значит, перпендикулярен нормали к ней. Пусть вектор нормали имеет координаты 
тогда 
откуда 
Подставим координаты точек 
получим систему уравнений:
Находим уравнение плоскости α:
Расстояние между прямыми
Здравствуйте. В решении нельзя применить теорему о трех перпендикулярах, так как прямая А1С не проходит через основание наклонной АВ1 точку А.
Разные формулировки есть.
Здравствуйте, есть и координатный способ решения.
Точка С — начало системы координат, точка С1(0;0;1), точка A(0,1,0), точка В(b,0,0), поскольку в первой части задания размеры отрезков конкретно не определены, и т. д. Затем находим координаты векторов АВ1 и СА1, находим скалярное произведение данных векторов, оно равно 0. Значит, векторы лежат на перпендикулярных прямых