Ре­ше­ние. а)  За­пи­шем урав­не­ние в виде

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Че­ты­рех­уголь­ник ABC₁D₁  — па­рал­ле­ло­грамм (даже пря­мо­уголь­ник), по­это­му пря­мая AC₁ пе­ре­се­ка­ет плос­кость BED₁ в точке O, се­ре­ди­не от­рез­ка BD₁. Пусть точки H_A и H_C  — про­ек­ции, со­от­вет­ствен­но, точек A и C₁ на плос­кость BED₁. Тогда тре­уголь­ни­ки H_AAO и равны по ги­по­те­ну­зе (AO  =  C₁O) и остро­му углу, зна­чит, Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пря­мая D₁E пе­ре­се­ка­ет пря­мую АD в точке К. Плос­ко­сти ABC и BED₁ пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой KB. Из точки Е опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр EH на пря­мую KB, тогда от­ре­зок AH (про­ек­ция EH) пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой KB. Угол АНЕ яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стя­ми ABC и BED₁.

По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков A₁D₁E и AKE на­хо­дим:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AKB с пря­мым углом A: от­ку­да вы­со­та

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AHE с пря­мым углом A по­лу­ча­ем:

Ответ: б)   Ответ может быть дан в дру­гой форме: или

При­ме­ча­ние.

Ко­ор­ди­нат­ный спо­соб ре­ше­ния мы про­де­мон­стри­ро­ва­ли на при­ме­ре ана­ло­гич­ной за­да­чи 500367.

Ре­ше­ние. 1.  Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Сде­ла­ем за­ме­ну

Тогда или от­ку­да на­хо­дим: или

2.  Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Рас­смот­рим два слу­чая.

Пер­вый слу­чай:

Учи­ты­вая усло­вие по­лу­ча­ем: или

Вто­рой слу­чай:

Учи­ты­вая усло­вие по­лу­ча­ем: или

Мно­же­ство ре­ше­ний вто­ро­го не­ра­вен­ства ис­ход­ной си­сте­мы:

3.  Учи­ты­вая, что по­лу­чим мно­же­ство ре­ше­ний ис­ход­ной си­сте­мы не­ра­венств:

Ответ:

Ре­ше­ние. Обе точки K и L не могут ле­жать вне тре­уголь­ни­ка, по­сколь­ку в этом слу­чае от­ре­зок KL не может ка­сать­ся впи­сан­ной окруж­но­сти. Зна­чит, по край­ней мере одна из этих точек лежит на сто­ро­не тре­уголь­ни­ка.

Пусть обе точки K и L лежат на сто­ро­нах тре­уголь­ни­ка. Че­ты­рех­уголь­ник AKLC  — впи­сан­ный, сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит, тре­уголь­ник ABC по­до­бен тре­уголь­ни­ку LBK, так как угол ABC  — общий. Пусть ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен k, тогда BL  =  kAB, BK  =  kBC, KL  =  kAC. Суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка AKLC равны:

Под­став­ляя из­вест­ные зна­че­ния сто­рон, на­хо­дим Сле­до­ва­тель­но,

Пусть точка K лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны AB. Углы AKL и ACL равны, по­сколь­ку опи­ра­ют­ся на одну дугу. Зна­чит, тре­уголь­ник ABC по­до­бен тре­уголь­ни­ку LBK, так как угол ABC  — общий. Более того, они опи­са­ны около одной и той же окруж­но­сти. Сле­до­ва­тель­но, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен 1, то есть, тре­уголь­ни­ки LBK и ABC равны, по­это­му KL  =  AC  =  9. За­ме­тим, что BK  =  BC > AB и точка K дей­стви­тель­но лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны AB.

Если точка L лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны BC, то BL > BC, но, ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му слу­чаю, по­лу­ча­ем BL  =  AB < BC. Зна­чит, этот слу­чай не до­сти­га­ет­ся.

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим функ­ции и Ис­сле­ду­ем урав­не­ние на про­ме­жут­ке

При все зна­че­ния функ­ции на про­ме­жут­ке от­ри­ца­тель­ны, а все зна­че­ния функ­ции   — не­от­ри­ца­тель­ны, по­это­му при урав­не­ние не имеет ре­ше­ний на про­ме­жут­ке

При функ­ция воз­рас­та­ет. Функ­ция убы­ва­ет на про­ме­жут­ке по­это­му урав­не­ние имеет не более од­но­го ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при­чем ре­ше­ние будет су­ще­ство­вать тогда и толь­ко тогда, когда, от­ку­да по­лу­ча­ем то есть

На про­ме­жут­ке урав­не­ние при­ни­ма­ет вид Это урав­не­ние сво­дит­ся к урав­не­нию Будем счи­тать, что по­сколь­ку слу­чай был рас­смот­рен ранее. Дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го урав­не­ния по­это­му при это урав­не­ние не имеет кор­ней; при урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень, рав­ный 2; при урав­не­ние имеет два корня.

Если урав­не­ние имеет два корня и то есть то боль­ший ко­рень по­это­му он при­над­ле­жит про­ме­жут­ку Мень­ший ко­рень при­над­ле­жит про­ме­жут­ку тогда и толь­ко тогда, когда

Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет сле­ду­ю­щее ко­ли­че­ство кор­ней на про­ме­жут­ке :

- нет кор­ней при

- один ко­рень при и

- два корня при и

- три корня при

Ответ:

Решим за­да­чу гра­фи­че­ски.

При нет ре­ше­ний, так как левая часть не­от­ри­ца­тель­ная, а пра­вая часть мень­ше −1. По­стро­им гра­фи­ки функ­ций (толь­ко по­ло­жи­тель­ную часть) и От­ме­тим, что   — это пря­мые, про­хо­дя­щие через точку (0; −1).

Три ре­ше­ния это урав­не­ние будет иметь, когда пря­мые будут ле­жать между пря­мы­ми m и n. Уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой n равен Для точек пе­ре­се­че­ния пря­мой m с вет­вью ги­пер­бо­лы на­хо­дим:

Для точки ка­са­ния дис­кри­ми­нант дол­жен быть равен нулю, от­ку­да Таким об­ра­зом,

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Если груп­па со­сто­ит из 2 маль­чи­ков, по­се­тив­ших толь­ко театр, 7 маль­чи­ков, по­се­тив­ших толь­ко кино, и 11 де­во­чек, схо­див­ших и в театр, и в кино, то усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но. Зна­чит, в груп­пе из 20 уча­щих­ся могло быть 9 маль­чи­ков.

б)  Пред­по­ло­жим, что маль­чи­ков было 10 или боль­ше. Тогда де­во­чек было 10 или мень­ше. Театр по­се­ти­ло не более 2 маль­чи­ков, по­сколь­ку если бы их было 3 или боль­ше, то доля маль­чи­ков в те­ат­ре была бы не мень­ше что боль­ше Ана­ло­гич­но, кино по­се­ти­ло не более 7 маль­чи­ков, по­сколь­ку но тогда хотя бы один маль­чик не по­се­тил ни те­ат­ра, ни кино, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

В преды­ду­щем пунк­те было по­ка­за­но, что в груп­пе из 20 уча­щих­ся могло быть 9 маль­чи­ков. Зна­чит, наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков в груп­пе  — 9.

в)  Пред­по­ло­жим, что не­ко­то­рый маль­чик схо­дил и в театр, и в кино. Если бы вме­сто него в груп­пе при­сут­ство­ва­ло два маль­чи­ка, один из ко­то­рых по­се­тил толь­ко театр, а дру­гой  — толь­ко кино, то доля маль­чи­ков и в те­ат­ре, и в кино оста­лась бы преж­ней, а общая доля де­во­чек стала бы мень­ше. Зна­чит, для оцен­ки наи­мень­шей доли де­во­чек в груп­пе можно счи­тать, что каж­дый маль­чик схо­дил или толь­ко в театр, или толь­ко в кино.

Пусть в груп­пе маль­чи­ков, по­се­тив­ших театр, маль­чи­ков, по­се­тив­ших кино, и d де­во­чек. Оце­ним долю де­во­чек в этой груп­пе. Будем счи­тать, что все де­воч­ки хо­ди­ли и в театр, и в кино, по­сколь­ку их доля в груп­пе от этого не из­ме­нит­ся, а доля в те­ат­ре и в кино не умень­шит­ся.

По усло­вию

зна­чит, Тогда по­это­му доля де­во­чек в груп­пе:

Если груп­па со­сто­ит из 2 маль­чи­ков, по­се­тив­ших толь­ко театр, 6 маль­чи­ков, по­се­тив­ших толь­ко кино, и 9 де­во­чек, схо­див­ших и в театр, и в кино, то усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но, а доля де­во­чек в груп­пе равна

Ответ: а) да: б) 9; в)