а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 2, а бо­ко­вые рёбра равны 3. На ребре AA₁ от­ме­че­на точка E так, что AE : EA₁  =  1 : 2.

а)  До­ка­жи­те, что точки A и C₁ рав­но­уда­ле­ны от плос­ко­сти BED₁.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и BED₁.

Ре­шить си­сте­му не­ра­венств

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­ны сто­ро­ны: AB  =  7, BC  =  8, AC  =  9. Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки A и C, пе­ре­се­ка­ет пря­мые BA и BC со­от­вет­ствен­но в точ­ках K и L, от­лич­ных от вер­шин тре­уголь­ни­ка. От­ре­зок KL ка­са­ет­ся окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину от­рез­ка KL.

Най­ди­те все зна­че­ния а при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

на про­ме­жут­ке имеет более двух кор­ней.

Каж­дый из груп­пы уча­щих­ся схо­дил в кино или в театр, при этом воз­мож­но, что кто-то из них мог схо­дить и в кино, и в театр. Из­вест­но, что в те­ат­ре маль­чи­ков было не более от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших театр, а в кино маль­чи­ков было не более от об­ще­го числа уча­щих­ся груп­пы, по­се­тив­ших кино.

а)  Могло ли быть в груп­пе 9 маль­чи­ков, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 20 уча­щих­ся?

б)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков МОГЛО быть в груп­пе, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в груп­пе было 20 уча­щих­ся?

в)  Какую наи­мень­шую долю могли со­став­лять де­воч­ки от об­ще­го числа уча­щих­ся в груп­пе без до­пол­ни­тель­но­го усло­вия пунк­тов а и б?