PDF-версии: 
В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 15, а боковые ребра равны 16.
а) Докажите, что прямые MC и BD перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.
Решение. а) Спроектируем прямую MC на плоскость ABCD, проекцией будет являться прямая AC. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому
Тогда по теореме о трех перпендикулярах 
б) Пусть точка E — середина ребра MD. Отрезок BE пересекает плоскость MAC в точке P. В треугольнике MBD точка Р является точкой пересечения медиан, следовательно, MP : РО = 2 : 1, где O — центр основания пирамиды. Отрезок FG параллелен AC и проходит через точку P (точка F принадлежит ребру MA, G — ребру MC), откуда
Четырёхугольник BFEG — искомое сечение. Отрезок BE — медиана треугольника MBD, значит,
Прямая BD перпендикулярна плоскости MAC, диагонали BE и FG четырёхугольника BFEG перпендикулярны. Следовательно,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Отрезок BE пересекает плоскость MAC в точке 
В треугольнике MBD точка P является точкой пересечения медиан, следовательно, 
где O — центр основания пирамиды. Отрезок FG параллелен AC и проходит через точку P (точка F принадлежит ребру 
— ребру MC), откуда 
Что и требовалось доказать.
Что и требовалось доказать.
Отрезок CE пересекает плоскость 
в точке 
является точкой пересечения медиан, следовательно, 
где 
— центр основания пирамиды. Отрезок FG параллелен BD и проходит через точку P (точка F принадлежит ребру MB, G — ребру MD), откуда 
Что и требовалось знать.
— искомое сечение. Отрезок CE — медиана треугольника MAC, значит,
четырёхугольника CFEG перпендикулярны, следовательно,