Ре­ше­ние. За­ме­тим, что Зна­чит, так как яв­ля­ет­ся цен­траль­ным углом, опи­ра­ю­щим­ся на ту же хорду. Со­от­вет­ствен­но, тре­уголь­ник AOB  — рав­но­сто­рон­ний, так как AO  =  OB  =  AB  =  R  =  3.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов к тре­уголь­ни­ку ABC:

Ответ: 3.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Впи­сан­ный угол до­пол­ня­ет по­ло­ви­ну цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же хорду, до 180°, зна­чит, По тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

Ре­ше­ние. Из точки C хорда АВ видна под углом АCВ. Пусть боль­шая часть окруж­но­сти равна 7x, тогда мень­шая равна 5x.

Зна­чит, мень­шая дуга окруж­но­сти равна 150°, а боль­шая  — 210°. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, зна­чит, опи­ра­ю­щий­ся на боль­шую дугу угол АCВ равен 105°.

Ответ: 105.

Ре­ше­ние. Угол между ка­са­тель­ной и хор­дой равен по­ло­ви­не дуги, за­ключённой между ними, по­это­му он равен 46°.

Ответ: 46.

Ре­ше­ние. Угол между ка­са­тель­ной и хор­дой, про­ведённой в точку ка­са­ния, из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной дуги, за­ключённой между его сто­ро­на­ми. По­это­му ве­ли­чи­на мень­шей дуги АВ окруж­но­сти равна 64°. Цен­траль­ный угол из­ме­ря­ет­ся дугой, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, по­это­му угол АОВ равен 64°.

Ответ: 64.

При­ме­ча­ние об из­ме­не­нии за­да­ния.

Ранее это за­да­ние и ана­ло­гич­ные к нему в От­кры­том банке были фор­му­ли­ро­ва­ны иначе.

За­да­ние. Угол между хор­дой AB и ка­са­тель­ной BC к окруж­но­сти равен 32°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну мень­шей дуги, стя­ги­ва­е­мой хор­дой AB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние. Угол между ка­са­тель­ной и хор­дой, про­ведённой в точку ка­са­ния, из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной дуги, за­ключённой между его сто­ро­на­ми. Зна­чит, ис­ко­мая ве­ли­чи­на дуги равна 64°.

Ответ: 64.

Ре­ше­ние. Угол между ка­са­тель­ной и хор­дой равен по­ло­ви­не за­клю­чен­ной между ними дуги. В тре­уголь­ни­ке ABC:

Ответ: 118.

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ник АВС рав­но­бед­рен­ный, так как от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных к окруж­но­сти из одной точки, равны. Сле­до­ва­тель­но, угол ВAC равен 0,5(180° − 122°)  =  29°. Угол между ка­са­тель­ной и хор­дой, про­ве­ден­ной через точку ка­са­ния, равен по­ло­ви­не за­клю­чен­ной между ними дуги, по­это­му ис­ко­мая дуга равна 2 · 29°  =  58°.

Ответ: 58.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть ис­ко­мая длина мень­шей дуги АВ равна х, тогда длина боль­шей дуги АВ равна 360° − х. Угол между двумя ка­са­тель­ны­ми, про­ве­ден­ны­ми из одной точки, равен по­ло­ви­не вы­се­ка­е­мых ими дуг, от­ку­да имеем: 0,5(360° − 2x)  =  122°. Тогда x  =  58°.

При­ве­дем ре­ше­ние Мар­се­ля Да­вы­до­ва (Аба­кан).

Вос­поль­зу­ем­ся тем, что ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной. От­сю­да сле­ду­ет, что углы OBC и OAC пря­мые. По усло­вию сле­до­ва­тель­но,

По­сколь­ку AOB  — цен­траль­ный угол, он равен дуге, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся. Таким об­ра­зом, дуга AB равна 58°.

Ре­ше­ние. Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ляр­на ра­ди­у­су; цен­траль­ный угол равен дуге, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник OAC пря­мо­уголь­ный и в нём

Ответ: 26.

Ре­ше­ние. Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ляр­на ра­ди­у­су, при­ведённому в точку ка­са­ния. По­это­му тре­уголь­ник AOC пря­мо­уголь­ный. Его ост­рый угол O равен 90° − 28°  =  62°. Цен­траль­ный угол равен дуге, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся. По­это­му он также равен 62°.

Ответ: 62.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что DB  — диа­метр окруж­но­сти, по­это­му дуга AB, не со­дер­жа­щая точки D, равна 180° − 116°  =  64°. На эту дугу опи­ра­ет­ся цен­траль­ный угол AOB, по­это­му он равен 64°. Ра­ди­ус, про­ведённый в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ным, по­это­му тре­уголь­ник AOC пря­мо­уголь­ный. Тогда

Ответ: 26.

При­ве­дем ре­ше­ние Ра­си­ля Са­ды­ко­ва.

Угол AOD  — цен­траль­ный угол, равен дуге, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся, сле­до­ва­тель­но, ∠AOD  =  116°. Угол AOD яв­ля­ет­ся внеш­ним углом тре­уголь­ни­ка AOC, сле­до­ва­тель­но, он равен сумме двух внут­рен­них углов, не смеж­ных с ним: ∠AOD = ∠OAC + ∠ACO. Угол OAC равен 90° как угол между ка­са­тель­ной и ра­ди­у­сом, про­ве­ден­ным в точку ка­са­ния, тогда ∠ACO = ∠AOD − ∠OAC  =  116° − 90°  =  26°.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что DB  — диа­метр окруж­но­сти. Тогда точка A делит дугу DB на дуги x и 180° − x. Угол между двумя се­ку­щи­ми (или между се­ку­щей и ка­са­тель­ной) равен по­лу­раз­но­сти вы­се­ка­е­мых ими дуг:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ляр­на ра­ди­у­су, цен­траль­ный угол равен дуге, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, зна­чит, тре­уголь­ник OAC  — пря­мо­уголь­ный и

Ответ: 114.