Проведем отрезок CD₁ и опустим перпендикуляр CH на BD₁.

Искомое расстояние равно высоте CH прямоугольного треугольника BCD₁ с прямым углом C:

Ответ:

Пусть — середина ребра — середина ребра По теореме о средней линии треугольника , следовательно, точки лежат в одной плоскости.

следовательно, — параллелограмм. Кроме того, а по теореме о трёх перпендикулярах (так как ), поэтому этот параллелограмм — прямоугольник. Значит, искомое расстояние есть длина отрезка По теореме Пифагора

Тогда

, а

Ответ:

Проведем отрезки CD₁ и AC. Искомое расстояние равно длине перпендикуляра CH, проведенного к прямой AD₁. Этот перпендикуляр является медианой равностороннего треугольника ACD₁ со стороной

Ответ:

Пусть — центр грани Плоскость пересекает плоскость по прямой где — середина отрезка Прямая перпендикулярна плоскости поскольку перпендикулярна прямым и Следовательно, плоскости и перпендикулярны. Поэтому расстояние от точки до плоскости равно высоте прямоугольного треугольника

Из условия следует, что

Откуда:

Ответ: 4,8.

Пусть — высота треугольника тогда — середина стороны Прямая параллельная плоскости поэтому расстояние от точек и до плоскости равны. Плоскость пересекает плоскость по прямой где — середина отрезка Прямая перпендикулярна плоскости поскольку перпендикулярна прямым и Следовательно, плоскости и перпендикулярны. Поэтому расстояние от точки до плоскости равно высоте прямоугольного треугольника

Из условия следует, что Откуда:

Ответ: 2,4.

Пусть — середина ребра а — середина ребра Заметим, что — трапеция, так как

Получаем:

Заметим, что Продлим прямые и и обозначим точку их пересечения В треугольнике значит, является средней линией, и - середина Треугольник - правильный. - медиана и высота. Значит, - перпендикуляр к и искомое расстояние равно

Ответ: 2.

Пусть — искомое расстояние. Найдём двумя способами объём пирамиды С одной стороны, он равен С другой стороны, он равен Треугольник — равнобедренный, его основание равно а боковые стороны равны Если

— середина основания то поэтому Следовательно, объём пирамиды равен Приравняем выражения для объёма: откуда

Ответ:

Плоскость проходит через точку пересечения диагоналей квадрата Опустим перпендикуляр на плоскость Точка является точкой пересечения диагоналей квадрата Диагонали квадрата в раз больше стороны квадрата и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому Отрезок равен стороне квадрата. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

Найдём синус угла

Опустим перпендикуляр на плоскость он попадёт на продолжение отрезка Длина отрезка и будет являться расстоянием от точки до плоскости Рассмотрим четырёхугольник и следовательно, — прямоугольник, откуда Прямая — секущая при параллельных прямых и поэтому углы и равны. Из прямоугольного треугольника найдём

Ответ:

Пусть — высота треугольника Плоскость пересекает плоскость по прямой параллельной прямым и Поскольку призма прямая и прямая перпендикулярна грани и, значит, и, следовательно, Отсюда следует, что расстояние от точки до плоскости равно длине отрезка

Найдём из треугольника

По теореме Пифагора: Найдём

Ответ: 2.

Пусть — высота треугольника Призма — прямая, поэтому прямая перпендикулярна плоскости и, значит, Следовательно, Отсюда следует, что расстояние от точки до плоскости равно длине отрезка По теореме Пифагора Найдём

Ответ: 2.

Опустим из точки перпендикуляр на прямую и проведем в плоскости грани прямую параллельную прямой Так как то и а, значит, прямая является проекцией прямой на плоскость Поскольку то а, следовательно, и согласно теореме о трех перпендикулярах.

Далее находим:

1) из

2) из

Ответ: 15.

В треугольнике проведём высоты и Искомое расстояние — длина отрезка Ясно, что, откуда Треугольник равнобедренный, Тогда

Следовательно,

Ответ:

Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен стороне шестиугольника. Значит, Поэтому треугольник — равносторонний. Следовательно, высота этого треугольника равна

Ответ:

Рассмотрим треугольник и его высоты и Составим равенство: Заметим теперь, что треугольник равнобедренный и поэтому Тогда

Ответ:

Рассмотрим треугольник и его высоты и Составим равенство

Тогда

Ответ:

Искомое расстояние равно высоте треугольника Треугольник равнобедренный, поскольку Дополнительно проведём высоту и медиану Найдём её длину:

Тогда, откуда получаем уравнение Следовательно,

Ответ:

Искомое расстояние равно высоте треугольника Треугольник равнобедренный, поскольку Дополнительно проведём высоту и медиану Найдём её длину: Тогда откуда получаем уравнение Следовательно,

Ответ:

Введём обозначения как показано на рисунке. По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. Опустим перпендикуляр на плоскость тогда — проекция прямой на плоскость следовательно, угол — угол между наклонной и плоскостью значит, этот угол равен 30°. Из прямоугольного треугольника

Углы и равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Из прямоугольного треугольника находим:

Обозначим искомое расстояние Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: Применим теорему косинусов для треугольника тогда

По смыслу задачи подходит только корень

Ответ:

Примечание.

Можно заметить, что треугольник B₁EC прямоугольный: прямая CE перпендикулярна BЕ, BЕ — проекция наклонной B₁Е, а тогда по теореме о трёх перпендикулярах CE перпендикулярна наклонной B₁Е. Далее: гипотенуза вдвое больше катета, лежащего напротив угла 30°: Искомую высоту призмы находим по гипотенузе и катету из прямоугольного треугольника B₁ВC:

Введём обозначения как показано на рисунке. Вспомним, что по определению угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. Поэтому опустим перпендикуляр на плоскость тогда — проекция прямой на плоскость следовательно, угол — угол между наклонной и плоскостью значит, этот угол равен 30°. Из прямоугольного треугольника

Углы и равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Из прямоугольного треугольника находим:

Обозначим искомое расстояние Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: Рассмотрим треугольник , он прямоугольный и

По смыслу задачи подходит только корень

Ответ:

Угол между прямыми AB₁ и BC₁ равен углу между прямыми OC₁ и BC₁.

В треугольнике OBC₁ OB = 1, BC₁=OC₁=

Из теоремы косинусов получаем

Косинус положителен, значит, - острый, значит, это искомый угол угол между прямыми

Ответ: 0,75.

Пусть  — середина  — середина значит, Кроме того, следовательно, плоскость Опустим перпендикуляр из точки на прямую кроме этого, (так как лежит в плоскости ), следовательно, и является искомым расстоянием.

Искомый отрезок является высотой прямоугольного треугольника с прямым углом

Поэтому

Ответ:

Пусть отрезок ― хорда основания, параллельная Тогда треугольник является искомым сечением, так как плоскость содержит прямую и прямую параллельную Опустим перпендикуляр на прямую Согласно теореме о трех перпендикулярах также является перпендикуляром к значит, Высота треугольника лежит в плоскости следовательно, и значит,

Далее находим:

1) из условия

2) из правильного треугольника

3) из прямоугольного треугольника

4) из прямоугольного треугольника

а)

б)

Ответ:

Пусть отрезок ― хорда основания, параллельная Тогда треугольник окажется искомым сечением, так как плоскость содержит прямую и прямую параллельную Опустим перпендикуляр на прямую Согласно теореме о трех перпендикулярах также является перпендикуляром к значит, Высота треугольника лежит в плоскости , следовательно, и , значит,

Далее находим:

1) из условия ;

2) из прямоугольного треугольника

3) из прямоугольного треугольника

4) из прямоугольного треугольника

а)

б)

Ответ:

Прямая BC параллельна AD, значит, плоскость проходит через среднюю линию треугольньника — середина ребра SB. где

Построим сечение ADMK. Пусть P — середина AD, N — середина BC. Рассмотрим сечение NSP:

Значит, треугольник SNP равносторонний. Искомое расстояние равно расстоянию от N до PQ, где Q — середина SN, PQ — медиана и высота треугольника SNP. Поэтому искомое расстояние равно

Ответ:

Построим сечение ADMK, где K — середина ребра SB и KM || BC || AD — средняя линия треугольника SBC. Покажем, что искомое расстояние равно длине SQ, где Q — середина SN — высоты боковой грани SBC.

Рассмотрим плоскость SNP, где P — середина стороны AD.

Значит, треугольник SNP — равносторонний и медиана PQ является также высотой. Следовательно, PQ ⊥ SQ, учитывая, что средняя линия KM ⊥ SQ, можем сделать вывод, что SQ ⊥ ADM, значит, искомое расстояние

Ответ: 1.

Обозначим угол между и буквой Пусть — высота пирамиды Тогда — средняя линия треугольника , следовательно, Поэтому По условию

Основание — квадрат со стороной, равной Следовательно, , , Далее, из прямоугольного треугольника находим:

Боковое ребро , поскольку — средняя линия треугольника Далее, из прямоугольного треугольника находим искомую высоту пирамиды :

Ответ: 5.

Опустим из точки перпендикуляр на прямую Так как то а, значит, отрезок ― высота прямоугольного треугольника откуда Далее находим:

Ответ: 12.

Опустим из точки перпендикуляр на прямую Так как то а, значит, отрезок ― высота прямоугольного треугольника откуда Далее находим:

Ответ:

Пусть – высота пирамиды. Тогда, так как треугольник равносторонний,

Пусть – объём пирамиды, тогда

С другой стороны, где h – искомое расстояние.

В треугольнике высота равна

Площадь треугольника равна Получаем, что

Ответ:

Прямые BB₁ и DB перпендикулярны прямой ED. Плоскость DEA₁, содержащая прямую ED, перпендикулярна плоскости BB₁D. Значит, искомое расстояние равно высоте BH прямоугольного треугольника BB₁D, в котором BB₁ = 1, , B₁D = 2:

Ответ:

Так как ABCDEF правильный шестиугольник, то прямые FC и DE параллельны, параллельны также прямые и следовательно, прямые и параллельны. Расстояние от точки до прямой равно расстоянию между прямыми и

В трапеции

тогда

Ответ:

Проведем отрезки и поскольку а  — проекция на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах Таким образом искмое расстояние — длина отрезка

Рассмотрим треугольник Он прямоугольный,

По теореме Пифагора находим:

Ответ: 2.

Пусть точка O является центром правильного треугольника, а следовательно, центром описанной и вписанной окружностей. Отрезок AO является радиусом описанной окружности около треугольника ABC, он в корень из трёх меньше его стороны.

Пусть  — середина ребра  — середина ребра По теореме о средней линии треугольника следовательно, точки лежат в одной плоскости.

следовательно, точки являются вершинами параллелограмма.

Кроме того, а по теореме о трёх перпендикулярах, так как получим поэтому этот параллелограмм — прямоугольник. Значит, искомое расстояние есть длина отрезка Отрезок

По теореме Пифагора

Ответ:

Пусть  — центр основания, а  — середина ребра  — середина ребра Тогда поэтому точки лежат в одной плоскости и являются вершинами трапеции.

По теореме о средней линии треугольника так что трапеция равнобедренная.

Так как

Основания трапеции равны В треугольнике проведем высоты и Тогда

Заметим, что поэтому

Ответ:

Опустим из точки A перпендикуляр AE на прямую и проведем в плоскости грани прямую EF, параллельную прямой Так как , то и , а, значит, прямая AF является проекцией прямой AE на плоскость ABC. Поскольку , то , а, следовательно, и согласно теореме о трех перпендикулярах.

Далее находим:

1) из : ;

2) из :

Ответ: 10.

Пусть SO – высота пирамиды. Тогда

Пусть V – объём пирамиды, тогда

С другой стороны, где h – искомое расстояние.

В треугольнике SBC высота SM равна

Площадь треугольника SBC равна Получаем, что

Ответ:

Плоскость проходит через точку пересечения диагоналей квадрата Опустим перпендикуляр на плоскость Точка является точкой пересечения диагоналей квадрата Диагонали квадрата в раз больше стороны квадрата и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому Отрезок равен стороне квадрата. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

Найдём синус угла

Опустим перпендикуляр на плоскость он попадёт на продолжение отрезка Длина отрезка и будет являться расстоянием от точки до плоскости Рассмотрим четырёхугольник и следовательно, — прямоугольник, откуда Прямая — секущая при параллельных прямых и поэтому углы и равны. Из прямоугольного треугольника найдём

Ответ:

Рассмотрим треугольную пирамиду Ее объем можно выразить двумя способами:

1)

2) , где искомое расстояние.

Приравняем выражения для объемов и выразим его:

Найдем площадь равнобедренного треугольника Проведем в нем высоту

Следовательно, искомое расстояние

Ответ:

а) Пусть AH — искомая высота. Проведем SK, H SK. Проведем AK. Поскольку T и N — середины AC и AB соответственно, то TN — средняя линия треугольника ABC. Тогда TN делит AK на две равные части. Поэтому MF — средняя линия треугольника SKA, она делит AH на две равные части.

б) Поскольку AB = AC, то треугольник ABC — равнобедренный. Имеем SC = SB, следовательно, треугольник SCB тоже равнобедренный. Зная, что SA ⊥ (ABC), имеем SA ⊥ AB. Тогда треугольники SAC и SAB равны по двум сторонам и углу между ними.

Так как AC = AB, AH ⊥ (CBS), следовательно, HC ⊥ AH, AH ⊥ HB, тогда HC = HB. Значит, точка H принадлежит серединному перпендикуляру к CB, то есть SK, так как SK — медиана, высота и биссектриса равнобедренного треугольника. Тогда , AK — биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника ABC. По теореме Пифагора AK = 

Поскольку SA ⊥ (ABC), SA ⊥ AK. Тогда по теореме Пифагора SK = 5. Имеем то есть SH = 1. Тогда HK = 4, следовательно, AH = 2. Тогда искомое расстояние равно 1.

Ответ: б) 1.