Пусть точка  — центр куба, а  — се­ре­ди­на а  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка по­это­му Тре­уголь­ник  — равносторонний, следовательно, ис­ко­мый угол равен углу

Примем длины ребер куба за . Най­дем стороны тре­уголь­ни­ка Из тре­уголь­ни­ка на­хо­дим из рав­но­сто­рон­не­го треугольника на­хо­дим

поскольку  — се­ре­ди­на диагонали то Те­перь применим к тре­уголь­ни­ку тео­ре­му косинусов:

Ответ:

Пусть точка — се­ре­ди­на от­рез­ка При­мем длины ребер куба за Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём

Аналогично, Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры и на сто­ро­ну тре­уголь­ни­ки и равносторонние, по­это­му пер­пен­ди­ку­ля­ры и также яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми и медианами, по­это­му точки и совпадают. Угол — искомый. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка

Следовательно, угол между плос­ко­стя­ми равен

Ответ:

Примечание.

Укажем дру­гой путь на­хож­де­ния угла B₁MC. В пря­мо­уголь­ни­ке CDA₁B₁ проведём через точку M — се­ре­ди­ну боковой сто­ро­ны DA₁ — от­ре­зок MK, па­рал­лель­ный стороне CD (см. рис.). Тогда:

Вместо плос­ко­сти возь­мем па­рал­лель­ную ей плос­кость Пусть — се­ре­ди­на Значит, угол — ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го угла. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим

Ответ:

Вместо плос­ко­сти возь­мем па­рал­лель­ную ей плос­кость Пусть — се­ре­ди­на Значит, угол — ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го угла. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим

Ответ:

Отрезок MK — средняя линия треугольника SAB, следовательно, MK || AB. Значит, через MK можно провести плоскость параллельную плоскости ABC и, так как MK ⊂ CMK, MK параллельна прямой пересечения плоскостей CMK и ABC.

Треугольник CMK — равнобедренный. Проведем перпендикуляр CQ к MK, Q — середина MK. Из точки Q опустим перпендикуляр QP на плоскость основания. Точка P лежит на CL — медиане треугольника ABC, P — середина LO. CL ⊥ AB, следовательно, CL ⊥ MK и CQ ⊥ MK. Таким образом, ∠QCP — линейный угол искомого угла.

Далее находим:

Откуда

Поскольку имеем:

Ответ:

Проведем пер­пен­ди­ку­ляр к так как тре­уголь­ник — равнобедренный, то — се­ре­ди­на Из точки опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр на плос­кость основания. Точка лежит на ме­ди­а­не тре­уголь­ни­ка Пря­мая па­рал­лель­на пря­мой пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей и и Следовательно, — ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го угла между плоскостями.

Далее находим:

Откуда

Ответ:

Проведём из точки пер­пен­ди­ку­ляр к — се­ре­ди­на Точка яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной вы­со­ты Пря­мая па­рал­лель­на пря­мой пе­ре­се­че­ния плоскостей, Следовательно, — ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го угла. Найдём

Значит,

Ответ:

Проведём из точки B пер­пен­ди­ку­ляр BQ к MK, Q — се­ре­ди­на MK. Точка Q яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной вы­со­ты SO. Пря­мая MK па­рал­лель­на пря­мой пе­ре­се­че­ния плоскостей, QB⊥MK, OB⊥MK. Следовательно, ∠QBO — ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го угла. Найдём QO.

Значит,

Ответ:

Построим се­че­ние приз­мы плос­ко­стью По­лу­чим па­рал­ле­ло­грамм Из точки проведём пер­пен­ди­ку­ляр к пря­мой Тогда по теореме о трех перпендикулярах Плос­кий угол — искомый. следовательно,

Ответ:

Построим се­че­ние приз­мы плос­ко­стью AC₁B. По­лу­чим па­рал­ле­ло­грамм ABC₁D₁. Из точки D проведём пер­пен­ди­ку­ляр DH к пря­мой AB. Тогда по теореме о трех перпендикулярах D₁H ⊥ AB. Плос­кий угол DHD₁ — искомый. Следовательно,

Ответ:

Пусть точка — се­ре­ди­на от­рез­ка При­мем длины ребер куба за Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём

Аналогично, Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры и на сто­ро­ну тре­уголь­ни­ки и равносторонние, по­это­му пер­пен­ди­ку­ля­ры и также яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми и медианами, по­это­му точки и совпадают. Угол — искомый. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка

Ответ:

Расстояние между пря­мы­ми и равно рас­сто­я­нию между основаниями, то есть вы­со­те призмы. Значит, вы­со­та призмы равна

Угол между плос­ко­стя­ми равен углу между прямыми, пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми этим плоскостям. По­это­му искомый угол равен углу между реб­ром и пря­мой Рас­смот­рим прямоугольный треугольник Его ка­те­ты равны Значит,

Ответ:

Расстояние между пря­мы­ми и равно рас­сто­я­нию между основаниями, то есть вы­со­те призмы. Значит, вы­со­та приз­мы равна Угол между плос­ко­стя­ми равен углу между прямыми, пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми этим плоскостям. Следовательно, ис­ко­мый угол равен углу между реб­ром и пря­мой

Рассмотрим тре­уголь­ник Его ка­те­ты равны По­это­му

Ответ: 60.

Прямая пересекает прямую в точке Плоскости и пересекаются по прямой Из точки опустим перпендикуляр на прямую тогда отрезок (проекция ), по теореме о трех перпендикулярах, перпендикулярен прямой Угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями и

Точка — середина ребра поэтому

Из равенства треугольников и получаем:

В равнобедренном треугольнике угол равен , высота является высотой и биссектрисой, откуда

Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем:

, тогда .

Ответ:

Замечание: Ответ может быть представлен и в другой форме:

Прямая пересекает прямую в точке . Плоскости и пересекаются по прямой . Из точки опустим перпендикуляр на прямую , тогда отрезок (проекция ) перпендикулярен прямой . Угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями и

Точка — середина ребра , поэтому .

Из равенства треугольников и получаем:

В равнобедренном треугольнике угол равен , высота является биссектрисой, откуда

.

Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем:

, тогда .

Ответ может быть представлен и в другой форме:

Ответ:

Прямая пе­ре­се­ка­ет пря­мую в точке . Плос­ко­сти и пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой

Из точки опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр на пря­мую , тогда от­ре­зок (проекция ) пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой по тео­ре­ме о трех перпендикулярах. Угол яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стя­ми и .

Поскольку получаем:

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков и находим:

 

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке с пря­мым углом от­ку­да высота

 

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с пря­мым углом получаем:

.

Ответ:

Прямая пересекает прямую в точке . Плоскости и пересекаются по прямой .

Из точки опустим перпендикуляр на прямую , тогда отрезок (проекция ) перпендикулярен прямой . Угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями и .

Поскольку , получаем:

Из подобия треугольников и находим:

В прямоугольном треугольнике с прямым углом : ; ; , откуда высота

.

Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем:

.

Ответ может быть представлен и в другой форме: или

Ответ: .

Пусть — дан­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной — ее высота, — се­ре­ди­на , — вы­со­та тре­уголь­ни­ка Угол — угол между бо­ко­вой гра­нью пи­ра­ми­ды и основанием.

Пусть тогда

Найдем пло­щадь тре­уголь­ни­ка двумя способами: Значит,

Ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти по­это­му и перпендикулярны, следовательно, плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру Ис­ко­мый угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми равен углу при вер­ши­не рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка

Ответ:

Пусть — дан­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной — ее высота, — се­ре­ди­на , — вы­со­та тре­уголь­ни­ка Угол — угол между бо­ко­вой гра­нью пи­ра­ми­ды и основанием.

Пусть тогда

Найдем пло­щадь тре­уголь­ни­ка двумя способами: Значит,

Ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти по­это­му и перпендикулярны, следовательно, плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру Ис­ко­мый угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми равен углу при вер­ши­не рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка

Ответ:

Обозначим се­ре­ди­ну ребра Так как тре­уголь­ник равносторонний, а тре­уголь­ник — равнобедренный, от­рез­ки и пер­пен­ди­ку­ляр­ны Следовательно, — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла с гра­ня­ми и Из тре­уголь­ни­ка най­дем В тре­уголь­ни­ке най­дем высоту

Из тре­уголь­ни­ка найдем:

Искомый угол равен

Ответ:

Проведем из точки пер­пен­ди­ку­ляр к — се­ре­ди­на MK. Точка Q яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной вы­со­ты Пря­мая па­рал­лель­на пря­мой пря­мой пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей и Следовательно, — ис­ко­мый ли­ней­ный угол. Най­дем :

Значит,

Ответ:

Пусть точка  — центр основания, а  — се­ре­ди­на ребра По­сколь­ку и плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­на прямой Это значит, что плос­кость и есть плоскость, про­хо­дя­щая через точку пер­пен­ди­ку­ляр­но

Проведем от­рез­ки и Так как тре­уголь­ник правильный, Так как тре­уголь­ник  — равнобедренный, Следовательно, ис­ко­мый угол равен углу Най­дем стороны тре­уголь­ни­ка

По тео­ре­ме косинусов:

Отсюда

Ответ:

Примечание.

Решение су­ще­ствен­но упрощается, если заметить, что тре­уголь­ник — прямоугольный:

Плоскости и имеют общую пря­мую Про­ве­дем перпендикуляр к По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах Значит, ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плоскостями и  — это угол Из пря­мо­уголь­но­го треугольника находим:

Из пря­мо­уголь­но­го треугольника находим:

Значит, ис­ко­мый угол равен

Ответ:

В пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках и сто­ро­на — общая и Значит, эти тре­уголь­ни­ки равны и Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки и равны по двум катетам. Значит, Пусть — се­ре­ди­на Тогда пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на и по­это­му ис­ко­мый угол между плос­ко­стя­ми равен углу В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке имеем Значит,

Ответ:

Пусть AA₁ — об­ра­зу­ю­щая цилиндра, M — се­ре­ди­на хорды BC. Тогда

Треугольники ABA₁ и ACA₁ равны по ги­по­те­ну­зе и катету. Зна­чит BA₁ = A₁C.

В рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ках BAC и BA₁C ме­ди­а­ны AM и A₁M яв­ля­ют­ся высотами. По­это­му ис­ко­мый угол между плос­ко­стя­ми равен углу ∠AMA₁. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AMA₁ имеем:

Ответ:

Пусть L — се­ре­ди­на AB. Тогда

Пусть AN и MH — вы­со­ты грани AMC. По­счи­та­ем пло­щадь тре­уголь­ни­ка AMC двумя способами: откуда

Искомый угол между гра­ня­ми равен углу, про­ти­во­ле­жа­ще­му ос­но­ва­нию рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ANB. Этот угол равен удво­ен­но­му углу ANL. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ANL имеем:

Ответ:

а) Прямая перпендикулярна , поскольку — медиана равностороннего треугольника . Кроме того, прямая перпендикулярна , поскольку перпендикулярна плоскости основания . Значит, прямая перпендикулярна плоскости , и потому перпендикулярна . Следовательно, треугольник прямоугольный.

б) Так как прямая перпендикулярна прямым и , угол искомый. Имеем

Ответ: б) .

а) Плоскость пересекает грани и по параллельным отрезкам. Имеем и . Значит, треугольники и подобны, причём прямые и параллельны, прямые и тоже параллельны. Значит, прямая лежит в плоскости .

б) Так как прямая перпендикулярна плоскости , опустим перпендикуляр из точки на прямую пересечения этих плоскостей. Угол будет искомым. Найдём . Для этого проведём в трапеции высоту ( — середина ). Вычисляя двумя способами площадь треугольника , найдём , то есть . Тогда тангенс искомого угла равен 6: .

Ответ: б) .