а) Заметим, что проекция прямой на плоскость это прямая . Проекция прямой на плоскость это прямая . и как диагонали квадрата. Таким образом, по теореме о трех перпендикулярах и . Тогда, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, .

б) Пусть точка O — центр куба, а M — середина а MO — средняя линия треугольника поэтому Треугольник  — равносторонний, следовательно, искомый угол равен углу

Примем длины ребер куба за Найдем стороны треугольника Из треугольника находим из равностороннего треугольника находим

Поскольку O — середина диагонали то Теперь применим к треугольнику теорему косинусов:

Ответ:

а) Пусть проекция точки S на плоскость основания это точка H. Опустим из точки S перпендикуляры на стороны треугольника ABC. По теореме о трех перпендикулярах -- тоже перпендикуляры к сторонам треугольника. А из условия равенства двугранных углов при основании пирамиды получаем, что треугольники SKH, SLH, SMH равны, поэтому , а значит H -- центр вписанной в ABC окружности.

б) Как известно, если фигура является проекцией фигуры то

Спроектируем боковые грани пирамиды на плоскость ее основания. Они покроют основание, а площади их проекций будут меньше площадей исходных граней в Поэтому искомая боковая поверхность равна

Осталось найти площадь основания. Обозначим катеты основания пирамиды за a и b. Тогда и (теорема Пифагора и формула для радиуса вписанной окружности).

Из второго уравнения получим умножая на 2 и складывая с первым, получим

откуда Тогда

Тогда площадь боковой поверхности равна

Пусть M и N — середины рёбер AS и BC соответственно. Прямая AS проектируется на плоскость основания в прямую Поэтому проекция точки M — точка  — лежит на отрезке Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол  — искомый. Заметим, что где O — центр основания, значит,  — средняя линия треугольника ASO, а поэтому  — середина

Тогда и Из прямоугольного треугольника находим:

Из прямоугольного треугольника находим: Значит, искомый угол равен

Ответ:

Пусть точка M — середина отрезка Примем длины ребер куба за Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

Аналогично, Опустим перпендикуляры и CK на сторону треугольники и равносторонние, поэтому перпендикуляры и CK также являются биссектрисами и медианами, поэтому точки H, K и M совпадают. Угол  — искомый. Из прямоугольного треугольника

По теореме косинусов из треугольника

Следовательно, угол между плоскостями равен

Ответ:

Поскольку призма прямая, то высота треугольника перпендикулярна плоскости Поэтому прямая BM  — проекция прямой на плоскость Значит, искомый угол равен углу

Так как имеем:

Отсюда Следовательно,

Ответ: