Пусть точка  — центр куба, а  — середина а  — средняя линия треугольника поэтому Треугольник  — равносторонний, следовательно, искомый угол равен углу

Примем длины ребер куба за Найдем стороны треугольника Из треугольника находим из равностороннего треугольника находим

Поскольку  — середина диагонали то Теперь применим к треугольнику теорему косинусов:

 

Ответ:

Как известно, если фигура является проекцией фигуры то

Спроектируем боковые грани пирамиды на плоскость ее основания. Они покроют основание, а площади их проекций будут меньше площадей исходных граней в Поэтому искомая боковая поверхность равна

Осталось найти площадь основания. Обозначим катеты основания пирамиды за a и b. Тогда и (теорема Пифагора и формула для радиуса вписанной окружности).

Из второго уравнения получим умножая на 2 и складывая с первым, получим

откуда Тогда

Тогда площадь боковой поверхности равна

Пусть точка — середина отрезка Примем длины ребер куба за Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём

Аналогично, Опустим перпендикуляры и на сторону треугольники и равносторонние, поэтому перпендикуляры и также являются биссектрисами и медианами, поэтому точки и совпадают. Угол — искомый. Из прямоугольного треугольника

По теореме косинусов из треугольника

Следовательно, угол между плоскостями равен

Ответ:

Примечание.

Укажем другой путь нахождения угла B₁MC. В прямоугольнике CDA₁B₁ проведём через точку M — середину боковой стороны DA₁ — отрезок MK, параллельный стороне CD (см. рис.). Тогда:

Вместо плоскости возьмем параллельную ей плоскость Пусть — середина Значит, угол — линейный угол искомого угла. Из прямоугольного треугольника находим

Ответ:

Вместо плоскости возьмем параллельную ей плоскость Пусть — середина Значит, угол — линейный угол искомого угла. Из прямоугольного треугольника находим

Ответ: