СДАМ ГИА






Каталог заданий. Сечения многогранников
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де MABCD с вер­ши­ной M сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 1, а бо­ко­вые рёбра равны 2. Точка N при­над­ле­жит ребру MC, причём MN: NC = 2:1. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки B и N па­рал­лель­но пря­мой AC.

За­да­ние 14 № 501730


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Урал. Ва­ри­ант 203.
2

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 из­вест­ны рёбра AB = 8, AD = 7, AA1 = 5. Точка W при­над­ле­жит ребру DD1 и делит его в от­но­ше­нии 1 : 4, счи­тая от вер­ши­ны D. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки C, W и A1.

За­да­ние 14 № 501752

Аналоги к заданию № 501752: 502314 503147



Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 402.
3

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD равна 108, а пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды равна 144. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через вер­ши­ну S этой пи­ра­ми­ды и через диа­го­наль её ос­но­ва­ния.

За­да­ние 14 № 507319

Аналоги к заданию № 507319: 511421



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 12.12.2013 с решениями: ва­ри­ант МА10301 (Часть С).
4

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — бис­сек­три­са угла SAC. Пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды, про­хо­дя­ще­го через точки A, M и B, равна Най­ди­те сто­ро­ну ос­но­ва­ния.

За­да­ние 14 № 507596

Аналоги к заданию № 507596: 511447



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.01.2013 с решениями: ва­ри­ант 2 (Часть С).
5

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD про­ве­де­но се­че­ние через се­ре­ди­ны рёбер AB и BC и вер­ши­ну S. Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния, если бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды равно 5, а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 4.

За­да­ние 14 № 507830

Аналоги к заданию № 507830: 511501



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.11.2012 с решениями: ва­ри­ант 2 (Часть C).
Показать решение

6

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 лежит тре­уголь­ник со сто­ро­ной 6. Вы­со­та приз­мы равна 4. Точка N — се­ре­ди­на ребра A1C1.

а) По­строй­те се­че­ние приз­мы плос­ко­стью BAN.

б) Най­ди­те пе­ри­метр этого се­че­ния.

За­да­ние 14 № 507887

Аналоги к заданию № 507887: 510460



Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 21.01.2015 ва­ри­ант МА10109.
7

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1лежит тре­уголь­ник со сто­ро­ной 8. Вы­со­та приз­мы равна 3. Точка N — се­ре­ди­на ребра A1C1.

а) По­строй­те се­че­ние приз­мы плос­ко­стью BAN.

б) Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

За­да­ние 14 № 507910


Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 21.01.2015 ва­ри­ант МА10110.
8

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD, все ребра ко­то­рой равны 4, точка K ― се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра AP.

а) По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку K и па­рал­лель­ной пря­мым PB и BC.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния.

За­да­ние 14 № 508233

Аналоги к заданию № 508233: 511582



Источник: Пробный эк­за­мен Санкт-Петербург 2015. Вариант 1.
9

На ребре пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E = 6EA. Точка T — се­ре­ди­на ребра B1C1. Из­вест­но, что AD = 12, AA1 = 14.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость ETD1 делит ребро BB1 в от­но­ше­нии 4 : 3.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью ETD1.

За­да­ние 14 № 509022

Аналоги к заданию № 509022: 509159



Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 13.02.2015 ва­ри­ант МА00409.
10

На ребре AA1 пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 5 : 3, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 5 : 11, а точка T − се­ре­ди­на ребра B1C1. Из­вест­но, что AD = 10, AA1 = 16.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость EFT про­хо­дит через вер­ши­ну D1.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью EFT.

За­да­ние 14 № 509580


Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10409.
11

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой че­ты­рех­уголь­ной приз­мы ABCDA'B'C'D' яв­ля­ет­ся квад­рат ABCD со сто­ро­ной , вы­со­та приз­мы равна . Точка K — се­ре­ди­на ребра BB'. Через точки K и С' про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой BD'.

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным тре­уголь­ни­ком.

б) Най­ди­те пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка, яв­ля­ю­ще­го­ся се­че­ни­ем приз­мы плос­ко­стью α.

За­да­ние 14 № 509821

Аналоги к заданию № 509821: 514244



Источник: ЕГЭ по математике — 2015. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день (часть С).
12

На ребре AA1 пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 6 : 1, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 3 : 4, а точка T — се­ре­ди­на ребра B1C1. Из­вест­но, что AD = 30, AA1 = 35.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость EFT про­хо­дит через вер­ши­ну D1.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью EFT.

За­да­ние 14 № 509927


Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10410.
13

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 12, а бо­ко­вое ребро SA равно 13. Точки M и N — се­ре­ди­ны рёбер SA и SB со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую MN и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ме­ди­а­ну CE ос­но­ва­ния в от­но­ше­нии 5 : 1, счи­тая от точки C.

б) Най­ди­те пло­щадь мно­го­уголь­ни­ка, яв­ля­ю­ще­го­ся се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.

За­да­ние 14 № 509948

Аналоги к заданию № 509948: 511602 510107



Источник: ЕГЭ — 2015 по математике. Ос­нов­ная волна 04.06.2015. Ва­ри­ант 1 (Часть С).
14

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 24, а бо­ко­вое ребро SA равно 19. Точки M и N — се­ре­ди­ны рёбер SA и SB со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую MN и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ме­ди­а­ну CE ос­но­ва­ния в от­но­ше­нии 5 : 1, счи­тая от точки C.

б) Най­ди­те пло­щадь мно­го­уголь­ни­ка, яв­ля­ю­ще­го­ся се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.

За­да­ние 14 № 510107
15

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с вер­ши­ной M вы­со­та равна 9, а бо­ко­вые рёбра равны 15. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этой пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны сто­рон AB и BC па­рал­лель­но пря­мой MB.

За­да­ние 14 № 512883


Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 801.
16

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с вер­ши­ной M вы­со­та равна 6, а бо­ко­вые рёбра равны 9. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этой пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны сто­рон AC и BC па­рал­лель­но пря­мой MC.

За­да­ние 14 № 512889


Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 802.
17

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро SA равно Точки M и N — се­ре­ди­ны рёбер SA и SB со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую MN и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ме­ди­а­ну CE ос­но­ва­ния в от­но­ше­нии 5 : 1, счи­тая от точки C.

б) Най­ди­те пло­щадь мно­го­уголь­ни­ка, яв­ля­ю­ще­го­ся се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.

За­да­ние 14 № 513095


Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016
18

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро SA равно 4. Точки M и N — се­ре­ди­ны рёбер SA и SB со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую MN и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ме­ди­а­ну CE ос­но­ва­ния в от­но­ше­нии 5 : 1, счи­тая от точки C.

б) Най­ди­те пе­ри­метр мно­го­уголь­ни­ка, яв­ля­ю­ще­го­ся се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.

За­да­ние 14 № 513096


Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016
19

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1, из­вест­ны рёбра: AB = 3, AD = 2, AA1 = 5. Точка O при­над­ле­жит ребру BB1 и делит его в от­но­ше­нии 2 : 3, счи­тая от вер­ши­ны B. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки A, O и C1.

За­да­ние 14 № 501885

Аналоги к заданию № 501885: 510662



Источник: Проект демонстрационной версии ЕГЭ—2014 по математике.
Показать решение

20

Точка E — се­ре­ди­на ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния куба плос­ко­стью A1BE, если ребра куба равны 2.

За­да­ние 14 № 500193
21

Точка E — се­ре­ди­на ребра BB1 куба ABCDA1B1C1D1. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния куба плос­ко­стью D1AE, если ребра куба равны 4.

За­да­ние 14 № 500474
22

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 6, бо­ко­вые рёбра равны 4. Изоб­ра­зи­те се­че­ние, про­хо­дя­щее через вер­ши­ны A, B и се­ре­ди­ну ребра A1C1. Най­ди­те его пло­щадь.

За­да­ние 14 № 500962

Аналоги к заданию № 500962: 501124



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2012 ва­ри­ант 5.
23

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 8, бо­ко­вые рёбра равны . Изоб­ра­зи­те се­че­ние, про­хо­дя­щее через вер­ши­ны A, C и се­ре­ди­ну ребра A1B1. Най­ди­те его пло­щадь.

За­да­ние 14 № 500968
Показать решение

24

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де MABCD с вер­ши­ной M сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 15, а бо­ко­вые ребра равны 16. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку B и се­ре­ди­ну ребра MD па­рал­лель­но пря­мой AC.

За­да­ние 14 № 501690

Аналоги к заданию № 501690: 501985 510707



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Центр. Ва­ри­ант 1.
25

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де MABCD с вер­ши­ной M сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 3, а бо­ко­вые рёбра равны 8. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку B и се­ре­ди­ну ребра MD па­рал­лель­но пря­мой AC.

За­да­ние 14 № 501945

Аналоги к заданию № 501945: 511367



Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр. Вариант 101.
Показать решение

26

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной при­зме ABCDA1B1C1D1 сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 20, а бо­ко­вое ребро AA1 = 7. Точка M при­над­ле­жит ребру A1D1 и делит его в от­но­ше­нии 2 : 3, счи­тая от вер­ши­ны D1. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этой приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки B, D и M.

За­да­ние 14 № 501710


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Сибирь. Ва­ри­ант 302.
27

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA1B1C1D1 сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 11, а бо­ко­вое ребро AA1 = 7. Точка K при­над­ле­жит ребру B1C1 и делит его в от­но­ше­нии 8 : 3, счи­тая от вер­ши­ны B1. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этой приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки B, D и K.

За­да­ние 14 № 502294

Аналоги к заданию № 502294: 511377



Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2013 ва­ри­ант МА10101.
28

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC бо­ко­вое ребро SA = 5, а сто­ро­на ос­но­ва­ния AB = 4. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через ребро AB пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру SC .

За­да­ние 14 № 504416

Аналоги к заданию № 504416: 511387 504437 510373



Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 26.02.2014 ва­ри­ант МА00201.
Показать решение

29

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC бо­ко­вое ребро SA = 6, а сто­ро­на ос­но­ва­ния AB = 4. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через ребро AB пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру SC .

За­да­ние 14 № 504437
30

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 6, а бо­ко­вые рёбра 10. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB на­хо­дит­ся точка E, а на ребре AM — точка L. Из­вест­но, что AD = AE = LM = 4. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

За­да­ние 14 № 505417

Аналоги к заданию № 505417: 505450 505499 510855 510879 511405



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Запад. Ва­ри­ант 301.
31

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 6, а бо­ко­вые рёбра 8. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB на­хо­дит­ся точка E, а на ребре AM — точка L. Из­вест­но, что СD = BE = LM = 2. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

За­да­ние 14 № 505423

Аналоги к заданию № 505423: 510849



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Запад. Ва­ри­ант 302.
32

Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет два шара, име­ю­щих общий центр. Пло­щадь се­че­ния мень­ше­го шара этой плос­ко­стью равна 8. Плос­кость β, па­рал­лель­ная плос­ко­сти α, ка­са­ет­ся мень­ше­го шара, а пло­щадь се­че­ния этой плос­ко­стью боль­ше­го шара равна 5. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью α.

За­да­ние 14 № 502115

Аналоги к заданию № 502115: 504945 510688



Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 23.04.2013. До­сроч­ная волна. Ва­ри­ант 901.
Показать решение

33

Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет два шара, име­ю­щих общий центр. Пло­щадь се­че­ния мень­ше­го шара этой плос­ко­стью равна 6. Плос­кость β, па­рал­лель­ная плос­ко­сти α, ка­са­ет­ся мень­ше­го шара, а пло­щадь се­че­ния этой плос­ко­стью боль­ше­го шара равна 4. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния боль­ше­го шара плос­ко­стью α.

За­да­ние 14 № 502135


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 23.04.2013. До­сроч­ная волна. Ва­ри­ант 902.
34

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной P равен 6, а длина его об­ра­зу­ю­щей равна 9. На окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са вы­бра­ны точки A и B, де­ля­щие окруж­ность на две дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как 1 : 3. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ко­ну­са плос­ко­стью ABP.

За­да­ние 14 № 505103


Источник: ЕГЭ 28.04.2014 по ма­те­ма­ти­ке. До­сроч­ная волна. Ва­ри­ант 1.
35

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC ос­но­ва­ни­ем яв­ля­ет­ся пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC, ребро MB пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 3, а ребро MA = 6. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Из­вест­но, что AD = AL = 2, и BE = 1. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

За­да­ние 14 № 505471


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 1.
36

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC, в ос­но­ва­ни­ии ко­то­рой лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC, ребро MB пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 6, а ребро MA равно 11. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка F. Из­вест­но, что AD = 4 и BE = 2, F — се­ре­ди­на AM. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и F.

За­да­ние 14 № 505493


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 2.
37

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD про­ве­де­но се­че­ние через се­ре­ди­ны рёбер AB и BC и вер­ши­ну S. Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния, если бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды равно 5, а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 4.

За­да­ние 14 № 500643
Показать решение

38

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD про­ве­де­но се­че­ние через се­ре­ди­ны ребер АВ и ВС и вер­ши­ну S. Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния, если все ребра пи­ра­ми­ды равны 8.

За­да­ние 14 № 500639

Аналоги к заданию № 500639: 511345

39

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 8, а угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — бис­сек­три­са угла SAC. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды, про­хо­дя­ще­го через точки A, M и B.

За­да­ние 14 № 500918


Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.01.2013 ва­ри­ант 1.
40

Пло­щадь ос­но­ва­ния пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD равна 64.

а) По­строй­те пря­мую пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти SAC и плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну S этой пи­ра­ми­ды, се­ре­ди­ну сто­ро­ны АВ и центр ос­но­ва­ния.

б) Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды, если пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью SAC равна 64.

За­да­ние 14 № 507202
41

Все рёбра пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с вер­ши­ной S равны 6. Ос­но­ва­ние вы­со­ты SO этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка SS1, M — се­ре­ди­на ребра AS, точка L лежит на ребре BC так, что BL : LC = 1 : 2.

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью S1LM — рав­но­бо­кая тра­пе­ция.

б) Вы­чис­ли­те длину сред­ней линии этой тра­пе­ции.

За­да­ние 14 № 513347

Аналоги к заданию № 513347: 513366



Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по математике 20.01.2016 ва­ри­ант МА10309
42

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA1B1C1D1 сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 3, а бо­ко­вое ребро AA1 равно  На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 от­ме­че­ны точки M, N и K со­от­вет­ствен­но, причём AM = A1N = C1K = 1.

а) Пусть L — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти MNK с реб­ром BC. До­ка­жи­те, что MNKL — квад­рат.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью MNK.

За­да­ние 14 № 513606


Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 28.03.2016. До­сроч­ная волна, ва­ри­ант 101
43

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA1B1C1D1 точка K делит бо­ко­вое ребро AA1 в от­но­ше­нии AK : KA1 = 1 : 2. Через точки B и K про­ве­де­на плос­кость па­рал­лель­ная пря­мой AC и пе­ре­се­ка­ю­щая ребро DD1 в точке M.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость делит ребро DD1 в от­но­ше­нии DM : MD1 = 2 : 1.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если из­вест­но, что AB = 4, AA1 = 6.

За­да­ние 14 № 513684


Источник: Пробный эк­за­мен по про­филь­ной математике Санкт-Петербург 05.04.2016. Ва­ри­ант 1.
Показать решение

44

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме KLMNK1L1M1N1 точка E делит бо­ко­вое ребро KK1 в от­но­ше­нии KE : EK1 = 1 : 3. Через точки L и E про­ве­де­на плос­кость па­рал­лель­ная пря­мой KM и пе­ре­се­ка­ю­щая ребро NN1 в точке F.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость делит ребро NN1 по­по­лам.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью и плос­ко­стью грани KLMN, если из­вест­но, что KL = 6 , KK1 = 4 .

За­да­ние 14 № 513714


Источник: Проб­ный эк­за­мен по про­филь­ной ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 05.04.2016. Ва­ри­ант 2.
45

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме АВСА1В1С1 сто­ро­на ос­но­ва­ния АВ равна 6, а бо­ко­вое ребро АА1 равно 3. На ребре АВ от­ме­че­на точка К так, что АК = 1. Точки М и L — се­ре­ди­ны рёбер А1С1 и В1С1 со­от­вет­ствен­но. Плос­кость γ па­рал­лель­на пря­мой АС и со­дер­жит точки К и L.

а) До­ка­жи­те, что пря­мая ВМ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти γ;

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С до плос­ко­сти γ.

За­да­ние 14 № 514447

Аналоги к заданию № 514447: 514541



Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016
46

Есть пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA1B1C1 со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 12 и вы­со­той 3. Точка K — се­ре­ди­на BC, точка L лежит на сто­ро­не A1B1 так, что В1L = 5. Точка М — се­ре­ди­на A1C1.

Через точки K и L про­ве­де­на плос­кость таким об­ра­зом, что она па­рал­лель­на пря­мой AC.

а) До­ка­зать, что ука­зан­ная выше плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой MB.

б) Найти объем пи­ра­ми­ды с вер­ши­ной в точке В и у ко­то­рой ос­но­ва­ни­ем яв­ля­ет­ся се­че­ние приз­мы плос­ко­стью.

За­да­ние 14 № 514561


Источник: ЕГЭ — 2016. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Центр
47

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 из­вест­ны длины рёбер: AB = 4, BC = 3, AA1 = 2. Точки P и Q — се­ре­ди­ны рёбер A1B1 и CC1 со­от­вет­ствен­но. Плос­кость APQ пе­ре­се­ка­ет ребро B1C1 в точке U.

а) До­ка­жи­те, что B1U : UC1 = 2 : 1.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA1B1C1D1 плос­ко­стью APQ.

За­да­ние 14 № 514654


Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016
48

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD равна 108, а пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды 144.

а) До­ка­жи­те, что угол между плос­ко­стью SAC и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну S этой пи­ра­ми­ды, се­ре­ди­ну сто­ро­ны AB и центр ос­но­ва­ния, равен 45°.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью SAC.

За­да­ние 14 № 515826


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 10. (Часть C).

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!
общее/сайт/предмет


Рейтинг@Mail.ru
Яндекс.Метрика