Ниже представлены ученические решения экзаменационных заданий. Оцените каждое из них в соответствии с критериями проверки заданий ЕГЭ. После нажатия кнопки «Проверить» вы узнаете правильный балл за каждое из решений. В конце будут подведены итоги.
Задание 484643
Задание 484645
Задание 500135
Задание 507187
Задание 507190
Задание 507191
Задание 507192
Задание № 484643
Найдите все значения a, при каждом из которых множеством решений неравенства 
является отрезок.
Решение
Перепишем неравенство в виде 
и нарисуем эскизы графиков левой и правой частей неравенства.
Из рисунка видно, что график правой части неравенства лежит выше графика левой при 
Заметим, что при 
решением кроме отрезка становится еще и точка 
что противоречит условию.
При дальнейшем уменьшении a в решение будет попадать еще один отрезок с правым концом в точке 
Левый конец будет сдвигаться вплоть до случая касания при котором решение снова превратится в один отрезок.
Рассмотрим случай касания:
Итак, интервал 
не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Пример 3.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 484645
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение
Преобразуем исходную систему:
Уравнение 
задает пару пересекающихся прямых 
и 
Система
задает части этих прямых, расположенные правее прямой 
то есть лучи BD и CE (без точек B и C), см. рис.
Уравнение 
задает прямую m с угловым коэффициентом a, проходящую через точку 
Следует найти все значения a, при каждом из которых прямая m имеет единственную общую точку с объединением лучей BD и 
а) Прямая AB задается уравнением 
Поэтому при 
прямая m не пересечет ни луч BD, ни луч
б) Прямая AC задается уравнением 
Поэтому при 
прямая m пересечет луч BD, но не пересечет луч
в) При 
прямая m пресечет и луч BD, и луч
г) Наконец, при 
прямая m пересечет только луч CE, а при 
она не пересечет ни луч BD, ни луч
Ответ: 
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 500135
Найдите все значения а при каждом из которых уравнение
на промежутке 
имеет более двух корней.
Решение
Рассмотрим функции 
и 
Исследуем уравнение 
на промежутке 
При 
все значения функции 
на промежутке отрицательны, а все значения функции 
— неотрицательны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке 
При 
функция возрастает. Функция убывает на промежутке 
поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, 
откуда получаем 
то есть 
На промежутке 
уравнение принимает вид 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней; при 
уравнение имеет единственный корень, равный 2; при 
уравнение имеет два корня.
Если уравнение имеет два корня 
и 
то есть 
то больший корень 
поэтому он принадлежит промежутку 
Меньший корень принадлежит промежутку тогда и только тогда, когда
то есть 
Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней на промежутке :
- нет корней при 
- один корень при 
и 
- два корня при 
и 
- три корня при 
Ответ:
Решим задачу графически.
При нет решений, так как левая часть неотрицательная, а правая часть меньше −1. Построим графики функций 
(только положительную часть) и 
Отметим, что 
— это прямые, проходящие через точку (0; −1).
Три решения это уравнение будет иметь, когда прямые 
будут лежать между прямыми m и n. Угловой коэффициент прямой n равен 
Для точек пересечения прямой m с ветвью гиперболы находим:
Для точки касания дискриминант 
должен быть равен нулю, откуда 
Таким образом, 
Ответ:
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Пример 3.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 507187
Найдите все значения a, при каждом из которых функция 
имеет более двух точек экстремума.
Решение
Раскроем модуль:
График функции при 
представляет собой параболу с ветвями верх и вершиной с абсциссой 
При 
график представляет собой параболу с ветвями верх и вершиной с абсциссой 
Рассмотрим все возможные конфигурации при различных значениях 
Из рисунка видно, что график имеет более двух точек экстремума при 
Ответ: 
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 507190
Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система
Решение
Если 
то уравнение 
задаёт окружность 
с центром в точке 
радиуса 2, а если 
то оно задаёт окружность 
с центром в точке 
того же радиуса (см. рис.).
При положительных значениях параметра а уравнение 
задает окружность 
с центром в точке 
радиуса а. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра а, при каждом из которых окружность 
имеет единственную общую точку с объединением окружностей 
и 
Из точки С проведём луч 
и обозначим 
и 
точки его пересечения с окружностью где лежит между C и 
Так как 
то 
При 
или 
окружности и не пересекаются. При 
окружности и имеют две общие точки. При 
или 
окружности и касаются.
Из точки С проведём луч 
и обозначим 
и 
точки его пересечения с окружностью 
где лежит между C и 
Так как 
то 
При 
или 
окружности и не пересекаются. При 
окружности и имеют две общие точки. При 
или 
окружности и касаются.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как 
то условию задачи удовлетворяют только числа 
и 
Ответ: 11, 
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 507191
Найдите все значения a, при каждом из которых функция 
имеет более двух точек экстремума.
Решение
Раскроем модуль:
График функции при представляет собой параболу с ветвями верх и вершиной с абсциссой При график представляет собой параболу с ветвями верх и вершиной с абсциссой 
Рассмотрим все возможные конфигурации при различных значениях
Из рисунка видно, что график имеет более двух точек экстремума при 
Ответ: 
Оцените это решение в баллах:
Задание № 507192
Найдите все значения а. при каждом из которых уравнение
на промежутке 
имеет более двух корней.
Решение
Рассмотрим функции и 
Исследуем уравнение на промежутке 
При все значения функции на промежутке отрицательны, а все значения функции — неотрицательны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке 
При функция возрастает. Функция убывает на промежутке 
поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, 
откуда получаем 
то есть 
На промежутке 
уравнение принимает вид 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней, при 
уравнение имеет единственный корень, равный 
при 
уравнение имеет два корня.
Если уравнение имеет два корня 
и 
то есть 
то больший корень 
поэтому он принадлежит промежутку 
Меньший корень принадлежит промежутку тогда и только тогда, когда
то есть 
Таким образом, исходное уравнение имеет следующее количество корней на промежутке 
— нет корней при
— один корень при 
и 
— два корня при 
и 
— три корня при 
Ответ:
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Наверх
Вернуться на основную страницу «Школы экспертов»