Ниже представлены ученические решения экзаменационных заданий. Оцените каждое из них в соответствии с критериями проверки заданий ЕГЭ. После нажатия кнопки «Проверить» вы узнаете правильный балл за каждое из решений. В конце будут подведены итоги.
Задание 484570
Задание 484571
Задание 500816
Задание 505549
Задание № 484570
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от точки C до прямой BD1.
Решение
а) Проекция 
на плоскость ABCD — это прямая 
(диагонали квадрата), поэтому, по теореме о трех перпендикулярах,
б) Проведем отрезок CD1 и опустим перпендикуляр CH на BD1.
Искомое расстояние равно высоте CH прямоугольного треугольника BCD1 с прямым углом C:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Пример 3.
Оцените это решение в баллах:
Пример 4.
Оцените это решение в баллах:
Пример 5.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 484571
Дан куб ABCDA1B1C1D1. Длина ребра куба равна 1.
а) Докажите, что расстояние от середины отрезка BC1 до плоскости AB1D1 равно расстоянию середины отрезка BC1 до прямой, проходящей через середину отрезка 
и вершину 
б) Найдите это расстояние.
Решение
а) Пусть M 
значит, 
Кроме того, 
следовательно, плоскость 
Опустим перпендикуляр NH из точки N на прямую 
кроме этого, 
(поскольку лежит в плоскости 
), следовательно, 
и является искомым расстоянием.
б) Искомый отрезок NH является высотой прямоугольного треугольника 
с прямым углом N.
Поэтому
Ответ: 
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Пример 3.
Оцените это решение в баллах:
Пример 4.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 500816
Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2, а диагональ боковой грани равна 
а) Докажите, что объем пирамиды 
вдвое больше объема пирамиды 
б) Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.
Решение
а) Пусть S − площадь основания призмы, а h - её высота. Тогда объем призмы равен Sh, а объем пирамиды 
равен 
Таким образом, объем пирамиды равен 
Что и требовалось доказать.
б) Обозначим H середину ребра 
Так как треугольник ABC равносторонний, а треугольник 
— равнобедренный, отрезки AH и 
перпендикулярны Следовательно, 
— линейный угол двугранного угла с гранями BCA и 
Из треугольника 
найдем 
В треугольнике AHB найдем высоту 
Из треугольника 
найдем: 
Искомый угол равен 
Ответ:
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Задание № 505549
Дан куб ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что плоскость 
перпендикулярна прямой 
б) Найдите косинус угла между плоскостями AB1D1 и ACD1.
Решение
а) Спроецируем прямую 
на плоскости 
и 
Получатся прямые 
и 
Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, 
и 
Тогда, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, 
Что и требовалось доказать.
б) Пусть точка M — середина отрезка Примем длины ребер куба за 
Из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора найдём 
Аналогично, 
Опустим перпендикуляры 
и CK на сторону треугольники 
и 
равносторонние, поэтому перпендикуляры и CK также являются биссектрисами и медианами, поэтому точки H, K и M совпадают. Угол 
— искомый. Из прямоугольного треугольника 
По теореме косинусов из треугольника 
Ответ: 
Пример 1.
Оцените это решение в баллах:
Пример 2.
Оцените это решение в баллах:
Пример 3.
Оцените это решение в баллах:
Наверх
Вернуться на основную страницу «Школы экспертов»