СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Школа экспертов
Вернуться на основную страницу «Школы экспертов»

Ниже представлены ученические решения экзаменационных заданий. Оцените каждое из них в соответствии с критериями проверки заданий ЕГЭ. После нажатия кнопки «Проверить» вы узнаете правильный балл за каждое из решений. В конце будут подведены итоги.

Задание 484643
Задание 484645
Задание 500135
Задание 507187
Задание 507190
Задание 507191
Задание 507192


Задание № 484643

Найдите все значения при каждом из которых множеством решений неравенства является отрезок.


Решение

Перепишем неравенство в виде и нарисуем эскизы графиков левой и правой частей неравенства.

Из рисунка видно, что график правой части неравенства лежит выше графика левой при Заметим, что при решением кроме отрезка становится еще и точка что противоречит условию.

При дальнейшем уменьшении в решение будет попадать еще один отрезок с правым концом в точке Левый конец будет сдвигаться вплоть до случая касания при котором решение снова превратится в один отрезок.

Рассмотрим случай касания:

тогда

Итак, интервал не удовлетворяет условию задачи.

 

Ответ:



Критерии оце­ни­ва­ния от­ве­та на за­да­ние С5 Баллы
Обоснованно по­лу­чен вер­ный ответ. 4
Рас­смот­ре­ны все воз­мож­ные случаи. По­лу­чен вер­ный ответ, но ре­ше­ние либо со­дер­жит пробелы, либо вы­чис­ли­тель­ную ошиб­ку или описку. 3
Рас­смот­ре­ны все воз­мож­ные случаи. По­лу­чен ответ, но ре­ше­ние со­дер­жит ошибки. 2
Рас­смот­ре­ны не­ко­то­рые случаи. Для рас­смот­рен­ных слу­ча­ев по­лу­чен ответ, воз­мож­но не­вер­ный из-за ошибок. 1
Все про­чие случаи. 0
Максимальное ко­ли­че­ство баллов 4


Пример 1.

Оцените это решение в баллах:

Пример 2.

Оцените это решение в баллах:

Пример 3.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 484645

Найдите все значения параметра при каждом из которых система

имеет единственное решение.


Решение

Преобразуем исходную систему:

Уравнение задает пару пересекающихся прямых и

Система

задает части этих прямых, расположенные правее прямой то есть лучи и (без точек и ), см. рис.

Уравнение задает прямую с угловым коэффициентом проходящую через точку Следует найти все значения при каждом из которых прямая имеет единственную общую точку с объединением лучей и

а) Прямая задается уравнением Поэтому при прямая не пересечет ни луч ни луч

б) Прямая задается уравнением Поэтому при прямая пересечет луч но не пересечет луч

в) При прямая пресечет и луч и луч

г) Наконец, при прямая пересечет только луч а при она не пересечет ни луч ни луч

 

Ответ:



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Обоснованно по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
Получен вер­ный ответ. Ре­ше­ние в целом верное. Обос­но­ва­но най­де­ны оба про­ме­жут­ка зна­че­ний па­ра­мет­ра из от­ве­та к задаче, при этом воз­мож­ны не­точ­но­сти с (не)включением кон­цов и(или) вы­чис­ли­тель­ная погрешность.3
Обосновано най­ден хотя бы один про­ме­жу­ток зна­че­ний па­ра­мет­ра из от­ве­та к задаче, при этом воз­мож­ны не­точ­но­сти с (не)включением кон­цов и(или) вы­чис­ли­тель­ная погрешность.2
Решение содержит:

− или вер­ное опи­са­ние рас­по­ло­же­ния двух лучей и пря­мой из усло­вия задачи;

− или вер­ное по­лу­че­ние квад­рат­но­го урав­не­ния с па­ра­мет­ром a от­но­си­тель­но одной из переменных.

1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Максимальный балл4


Пример 1.

Оцените это решение в баллах:

Пример 2.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 500135

Найдите все значения а при каждом из которых уравнение

на промежутке имеет более двух корней.


Решение

Рассмотрим функции и Исследуем уравнение на промежутке

 

При все значения функции на промежутке отрицательны, а все значения функции  — неотрицательны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке

 

При функция возрастает. Функция убывает на промежутке , поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке , причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, , откуда получаем , то есть

 

На промежутке уравнение принимает вид Это уравнение сводится к уравнению Будем считать, что , поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения , поэтому при это уравнение не имеет корней; при уравнение имеет единственный корень, равный 2; при уравнение имеет два корня.

 

Если уравнение имеет два корня и , то есть , то больший корень , поэтому он принадлежит промежутку Меньший корень принадлежит промежутку тогда и только тогда, когда

 

то есть

Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней на промежутке :

 

- нет корней при ;

- один корень при и ;

- два корня при и ;

- три корня при

 

Ответ:

 

Решим задачу графически.

При нет решений, так как левая часть неотрицательная, а правая часть меньше −1. Построим графики функций (только положительную часть) и Отметим, что — это прямые, проходящие через точку (0; −1).

Три решения это уравнение будет иметь, когда прямые будут лежать в промежутке между прямыми m и n. Для n: Для m: Рассмотрим единственную точку касания, т. е. дискриминант должен быть равен нулю: Таким образом,

 

Ответ:



Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4


Пример 1.

Оцените это решение в баллах:

Пример 2.

Оцените это решение в баллах:

Пример 3.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 507187

Найдите все значения a, при каждом из которых функция имеет более двух точек экстремума.


Решение

Раскроем модуль:

График функции при представляет собой параболу с ветвями верх и вершиной с абсциссой При график представляет собой параболу с ветвями верх и вершиной с абсциссой Рассмотрим все возможные конфигурации при различных значениях

 

Из рисунка видно, что график имеет более двух точек экстремума при

 

Ответ:



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Обоснованно по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
Получен вер­ный ответ. Ре­ше­ние в целом верное, но либо имеет про­бе­лы (например, не опи­са­ны не­об­хо­ди­мые свой­ства функции), либо со­дер­жит вы­чис­ли­тель­ные ошибки.3
Верно рас­смот­ре­ны все слу­чаи рас­кры­тия модулей. При со­став­ле­нии или ре­ше­ний усло­вий на па­ра­метр до­пу­ще­ны ошибки, в ре­зуль­та­те ко­то­рых в от­ве­те либо при­об­ре­те­ны по­сто­рон­ние значения, либо часть вер­ных зна­че­ний потеряна.2
Хотя бы в одном из слу­ча­ев рас­кры­тия мо­ду­ля со­став­ле­но вер­ное усло­вие на па­ра­метр либо по­стро­ен вер­ный эскиз гра­фи­ка функ­ции в целом.1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Максимальный балл4


Пример 1.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 507190

Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Решение

Если , то уравнение задаёт окружность с центром в точке радиуса 2, а если , то оно задаёт окружность с центром в точке того же радиуса (см. рис.).

При положительных значениях параметра а уравнение задает окружность с центром в точке радиуса а. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра а, при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и

Из точки С проведём луч и обозначим и точки его пересечения с окружностью где лежит между и Так как то

При или окружности и не пересекаются. При окружности и имеют две общие точки. При или окружности и касаются.

Из точки С проведём луч и обозначим и точки его пересечения с окружностью где лежит между и Так как , то

При или окружности и не пересекаются. При окружности и имеют две общие точки. При или окружности и касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой. Так как то условию задачи удовлетворяют только числа и

 

Ответ: 11,



Критерии оценивания ответа на задание С5 Баллы
Обоснованно получен верный ответ. 4
C помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но

– или в ответ включены так же одно-два неверных значения;

– или решение недостаточно обоснованно.

3
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра. 2
Задача сведена к исследованию:

– или взаимного расположения трёх окружностей;

– или двух квадратных уравнений с параметром.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. 0
Максимальное количество баллов 4


Пример 1.

Оцените это решение в баллах:

Пример 2.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 507191

Найдите все значения a, при каждом из которых функция имеет более двух точек экстремума.


Решение

Раскроем модуль:

График функции при представляет собой параболу с ветвями верх и вершиной с абсциссой При график представляет собой параболу с ветвями верх и вершиной с абсциссой Рассмотрим все возможные конфигурации при различных значениях

 

Из рисунка видно, что график имеет более двух точек экстремума при

 

Ответ:



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Обоснованно по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
Получен вер­ный ответ. Ре­ше­ние в целом верное, но либо имеет про­бе­лы (например, не опи­са­ны не­об­хо­ди­мые свой­ства функции), либо со­дер­жит вы­чис­ли­тель­ные ошибки.3
Верно рас­смот­ре­ны все слу­чаи рас­кры­тия модулей. При со­став­ле­нии или ре­ше­ний усло­вий на па­ра­метр до­пу­ще­ны ошибки, в ре­зуль­та­те ко­то­рых в от­ве­те либо при­об­ре­те­ны по­сто­рон­ние значения, либо часть вер­ных зна­че­ний потеряна.2
Хотя бы в одном из слу­ча­ев рас­кры­тия мо­ду­ля со­став­ле­но вер­ное усло­вие на па­ра­метр либо по­стро­ен вер­ный эскиз гра­фи­ка функ­ции в целом.1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Максимальный балл4


Оцените это решение в баллах:



Задание № 507192

Найдите все значения а. при каждом из которых уравнение

 

на промежутке имеет более двух корней.


Решение

Рассмотрим функции и Исследуем уравнение на промежутке

При все значения функции на промежутке отрицательны, а все значения функции  — неотрицательны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке

При функция возрастает. Функция убывает на промежутке поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, откуда получаем то есть

На промежутке уравнение принимает вид Это уравнение сводится к уравнению Будем считать, что поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения поэтому при это уравнение не имеет корней, при уравнение имеет единственный корень, равный при уравнение имеет два корня.

Если уравнение имеет два корня и то есть то больший корень поэтому он принадлежит промежутку Меньший корень принадлежит промежутку тогда и только тогда, когда

 

то есть

 

Таким образом, исходное уравнение имеет следующее количество корней на промежутке

— нет корней при

— один корень при и

— два корня при и

— три корня при

 

Ответ:



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Обоснованно по­лу­чен пра­виль­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний а, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний а2
Верно по­лу­че­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний а1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Максимальный балл4


Пример 1.

Оцените это решение в баллах:



Наверх
Вернуться на основную страницу «Школы экспертов»