СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Школа экспертов
Вернуться на основную страницу «Школы экспертов»

Ниже представлены ученические решения экзаменационных заданий. Оцените каждое из них в соответствии с критериями проверки заданий ЕГЭ. После нажатия кнопки «Проверить» вы узнаете правильный балл за каждое из решений. В конце будут подведены итоги.

Задание 505539
Задание 505540


Задание № 505539

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?


Решение

а) Если последовательность состоит из двух членов, и (в произвольном порядке), то Уравнение не имеет решений в натуральных числах. Поэтому последовательность не может состоять из двух членов.

б) Последовательность может состоять из трёх членов: 252, 2520, 252.

в) Приведём пример последовательности из 549 членов: Сумма её членов равна

Допустим, что в последовательности более чем 549 членов. Разобьём первые 550 членов последовательности на 275 пар соседних членов: первый и второй, третий и четвёртый, пятый и шестой и т. д. Сумма двух членов в каждой паре делится на 11 и поэтому не меньше 11. Значит, сумма всех членов последовательности не меньше, чем Получили противоречие.

 

Ответ: а) нет, б) да, в) 549.



Критерии оце­ни­ва­ния выполнения заданияБаллы
Верно выполнены: а, б, в(пример), в(оценка).4
Верно вы­пол­не­ны три пунк­та из четырёх: а, б, в(пример), в(оценка).3
Верно вы­пол­не­ны два пунк­та из четырёх: а, б, в(пример), в(оценка).2
Верно вы­пол­нен один пункт из четырёх: а, б, в(пример), в(оценка).1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Максимальный балл4


Пример 1.

Оцените это решение в баллах:

Пример 2.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 505540

На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −18.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?


Решение

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 9, поэтому  — количество целых чисел — делится на 9. По условию , поэтому

Таким образом, написано 36 чисел.

 

б) Приведём равенство к виду

Так как , получаем, что , откуда Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

 

в) (оценка) Подставим в правую часть равенства

,

откуда

Так как , получаем:

, , , ;

то есть положительных чисел не более 16.

 

в) (пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 16. Пусть на доске 16 раз написано число 9, 18 раз написано число −18 и два раза написан 0.

Тогда

указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

 

Ответ: а) 36; б) отрицательных; в) 16.



Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Верно выполнены: а, б, в(пример), в(оценка).4
Верно вы­пол­не­ны три пунк­та из четырёх: а, б, в(пример), в(оценка).3
Верно вы­пол­не­ны два пунк­та из четырёх: а, б, в(пример), в(оценка).2
Верно вы­пол­нен один пункт из четырёх: а, б, в(пример), в(оценка).1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Максимальный балл4


Пример 1.

Оцените это решение в баллах:

Пример 2.

Оцените это решение в баллах:



Наверх
Вернуться на основную страницу «Школы экспертов»