Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 484572

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Ребро основания пирамиды равно корень из 6, высота —  корень из 33.

а) Докажите, что сечение пирамиды, проходящее через середину ребра AD и точки M и T — середины ребер CS и ВС соответственно, является равнобедренной трапецией.

б) Найдите расстояние от середины ребра AD до прямой MT.

Спрятать решение

Решение.

 

а) Пусть O — центр основания, а N — середина ребра SD, P — середина ребра AD. Тогда MN||CD||TP, поэтому точки P,N,M,T лежат в одной плоскости и являются вершинами трапеции.

 

 

 

По теореме о средней линии треугольника NP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AS= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BS=MT, так что трапеция равнобедренная.

 

 

б) Так как AO= дробь: числитель: AB, знаменатель: корень из 2 конец дроби = корень из 3,AS= корень из OA в квадрате плюс OS в квадрате = корень из 3 плюс 33=6,NP=MT=3.

Основания трапеции равны PT= корень из 6, MN= дробь: числитель: корень из 6, знаменатель: 2 конец дроби . В треугольнике PMT проведем высоты MG и PH. Тогда

GT= дробь: числитель: PT минус MN, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из 6, знаменатель: 4 конец дроби , MG= корень из MT в квадрате минус GT в квадрате = корень из 9 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби = корень из дробь: числитель: 69, знаменатель: 8 конец дроби .

Заметим, что MG умножить на PT=2 умножить на S_PMT=PH умножить на MT, поэтому PH= дробь: числитель: MG умножить на PT, знаменатель: MT конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из 23.

Ответ:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из 23.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2
Методы геометрии: Метод площадей