Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 484607

Две окружности, радиусы которых равны 9 и 4, касаются внешним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной.

Спрятать решение

Решение.

Возможны два случая взаимного расположения прямой и окружностей.

 

Первый случай. Пусть окружность с центром O1 имеет радиус r = 4, окружность центром O2 имеет радиус R = 9, а окружность с центром O имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a.

Обозначим через A, B и C точки касания окружностей с прямой a, а через K, M и N — точки касания самих окружностей. Отрезки O1A, O2B и OC перпендикулярны прямой a как радиусы, проведенные в точки касания.

Опустим перпендикуляр O1D из центра меньшей из данных окружностей на радиус O2B большей окружности и перпендикуляры OE и OF из точки O на радиусы O1A и O2B. Поскольку O1A || O2B, точки E, O и F лежат на одной прямой, а так как O1DFE — прямоугольник, то O1D = EF.

Кроме того,

O_1O=r плюс x,O_1O_2=r плюс R,O_2O=R плюс x, O_1E=r минус x,O_2F=R минус x,O_2D=R минус r, O_1D=EF=EO плюс OF.

Далее имеем:

 корень из O_1O_2 в квадрате минус O_2D в квадрате = O_1D равносильно корень из O_1O_2 в квадрате минус O_2D в квадрате = EO плюс OF равносильно

 

 равносильно корень из O_1O_2 в квадрате минус O_2D в квадрате = корень из O_1O в квадрате минус O_1E в квадрате плюс корень из OO_2 в квадрате минус O_2F в квадрате равносильно

 

 равносильно корень из левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка R минус r правая круглая скобка в квадрате = корень из левая круглая скобка r плюс x правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка r минус x правая круглая скобка в квадрате плюс корень из левая круглая скобка R плюс x правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка R минус x правая круглая скобка в квадрате равносильно

 

\Letrightarrow 2 корень из Rr=2 корень из rx плюс 2 корень из Rx равносильно 2 умножить на 3=2 корень из x плюс 3 корень из x равносильно x=1,44.

 

Второй случай. Пусть теперь окружность с центром O1 имеет радиус R = 9, окружность с центром O имеет радиус r = 4, а окружность центром O2 имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a.

Аналогично случаю 1 имеем:

 корень из левая круглая скобка x плюс R правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка x минус R правая круглая скобка в квадрате = корень из левая круглая скобка R плюс r правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка R минус r правая круглая скобка в квадрате плюс корень из левая круглая скобка x плюс r правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка x минус r правая круглая скобка в квадрате равносильно

 равносильно 2 корень из Rx=2 корень из Rr плюс 2 корень из rx равносильно 3 корень из x=2 корень из x плюс 2 умножить на 3 равносильно x=36.

 

Ответ: 1,44 или 36.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины 2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей
Спрятать решение · ·
Гость 01.12.2013 12:02

В задаче рассматриваются только два случая решения, если окружность, радиус которой нужно найти - самая маленькая или самая большая. Но средняя окружность также удовлетворяет условиям задачи, так что задача имеет три, а не два решения.

Константин Лавров

Увы, это не так. Такого случая нет. Попытка рассмотреть этот случай приводит к тому же уравнению 2 корень из Rr плюс 2 корень из rx=2 корень из Rx, что и во втором случае. И это правильно, так как принципиальным является не перебор окружностей на картинке, а порядок точек касания окружностей на их общей касательной.