Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 484630

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений  система выражений  новая строка {{x} в степени 2 } плюс {{y} в степени 2 }=2a,  новая строка 2xy=2a минус 1 конец системы . имеет ровно два решения.

Решение.

Заменим первое уравнение разностью, а второе — суммой исходных уравнений:

 система выражений  новая строка {{x} в степени 2 } плюс {{y} в степени 2 }=2a,  новая строка 2xy=2a минус 1 конец системы . равносильно система выражений  новая строка {{(x минус y)} в степени 2 }=1,\quad \quad \quad \quad \quad (1)  новая строка {{(x плюс y)} в степени 2 }=4a минус 1.\quad \quad \quad (2) конец системы .

При a меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 второе уравнение системы, а, значит, и вся система решений не имеет. При a больше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 получаем:

(1)\quad равносильно \quad совокупность выражений  новая строка y=x минус 1,  новая строка y=x плюс 1. конец совокупности .

(2)\quad равносильно \quad совокупность выражений  новая строка y= минус x минус корень из { 4a минус 1},  новая строка y= минус x плюс корень из { 4a минус 1}. конец совокупности .

Ясно (см. рисунок), что при a больше дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 система имеет четыре решения (координаты точек A, B, C и D), а при a= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4  — два решения (координаты точек M и N).

Ответ: a= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 .

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Комбинация прямых