Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 484632

При каких значениях параметра a система  система выражений  новая строка y=x в степени 2 минус 2x,  новая строка x в степени 2 плюс y в степени 2 плюс a в степени 2 =2x плюс 2ay конец системы . имеет решения?

Решение.

Перепишем исходную систему в виде

 система выражений  новая строка (x минус 1) в степени 2 =y плюс 1,  новая строка (y минус a) в степени 2 плюс (x минус 1) в степени 2 =1. конец системы .

Исходная система имеет решения, тогда и только тогда, когда относительно y имеет решения система:

 система выражений  новая строка (y минус a) в степени 2 плюс y плюс 1=1,  новая строка y плюс 1 больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка y в степени 2 плюс (1 минус 2a)y плюс a в степени 2 =0,  новая строка y больше или равно минус 1. конец системы .

Решая уравнение этой системы, находим, что y= дробь, числитель — 2a минус 1\pm корень из { 1 минус 4a}, знаменатель — 2 . Требование задачи будет выполнено, если последняя смешанная система имеет хотя бы одно решение. Искомые значения a находятся из совокупности неравенств

 дробь, числитель — 2a минус 1\pm корень из { 1 минус 4a}, знаменатель — 2 больше или равно минус 1 равносильно совокупность выражений корень из { 1 минус 4a}\ge минус 1 минус 2a, корень из { 1 минус 4a} меньше или равно 1 плюс 2a. конец совокупности .

Иррациональные неравенства можно решить, используя теоремы о равносильности:

 корень из { x} меньше или равно y равносильно система выражений x больше или равно 0,y больше или равно 0, x меньше или равно y в степени 2 конец системы .        и        корень из { x} больше или равно y равносильно совокупность выражений система выражений y меньше 0,x больше или равно 0, конец системы . система выражений y больше или равно 0,x больше или равно y в степени 2 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений y меньше 0,x больше или равно 0, конец системы . x больше или равно y в степени 2 конец совокупности .

Получим:  минус 2 меньше или равно a меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 или 0 меньше или равно a меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 , что дает  минус 2 меньше или равно a меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 .

Другой путь решения неравенств — ввести замену t= корень из { 1 минус 4a}. В этом случае a= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 (1 минус t в степени 2 ). Тогда:

t больше или равно минус 1 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (1 минус t в степени 2 ), откуда  t в степени 2 минус 2t минус 3 меньше или равно 0 \underset{t больше или равно 0}{\mathop{ равносильно }} 0 меньше или равно t меньше или равно 3

и

t меньше или равно 1 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (1 минус t в степени 2 ), что дает t в степени 2 плюс 2t минус 3 меньше или равно 0 \underset{t больше или равно 0}{\mathop{ равносильно }} 0 меньше или равно t меньше или равно 1.

 

Тем самым, 0 меньше или равно t меньше или равно 3. Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

0 меньше или равно корень из { 1 минус 4a} меньше или равно 3 равносильно 0 меньше или равно 1 минус 4a меньше или равно 9 равносильно минус 1 меньше или равно минус 4a меньше или равно 8 равносильно минус 2 меньше или равно a меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 .

 

Ответ: a принадлежит левая квадратная скобка минус 2, дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 правая квадратная скобка .


Аналоги к заданию № 484632: 511307 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Комбинация «кривых»