Перед каждым из чисел 14, 15, . . ., 20 и 4, 5, . . ., 8 прозвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
1. Если все числа первого набора взяты с плюсами, а второго — с минусами, то сумма максимальна и равна
2. Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней — нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при изменении знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из полученных сумм будет не четной, а значит, не будет равна 0.
3. Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел:
Ответ: 1 и 805.
Знаки проставляются только подбором?
Да.
а сумма не может быть отрицательной? и если нет, то почему?
Может
Тогда почему в ответе 1? из-за слов "по модулю"?
да
Коллеги, я предлагаю пояснить:
1. Почему последовательности необходимо суммировать 5 и 7 раз соответственно.
2. Зачем дано трудно перевариваемое объяснение в п. 2.
3. Как без перебора привести пример минимальной суммы и нужен ли пример для решения задачи.
Мои предложения:
1 Обозначим
последовательность 
и 
последовательность 
Наличие тридцати пяти разностей означает, что каждое число из 
взаимодействовало пять раз с числами из 
а каждое число из 
семь раз вычиталось из чисел 
Следовательно конечная сумма состоит из пяти сумм 
и семи сумм 
2. Минимальная возможная сумма последовательности целых чисел по модулю равна нулю. Если сумма чисел последовательности нечетна, то минимальное возможное значение по модулю может быть
В нашей задаче
Учтем, что любая 
— нечетное число. Выпишем два столбца произведений натуральных чисел на числа 
и 
Найдем наименьшие (для простоты) значения в обоих столбцах отличающиеся на единицу, причем в столбце произведений на 
это должно быть нечетное число, так как 
число нечетное. Минимальные числа в столбцах 
и 
Таким образом, необходимо найти 
и 
Так как при всех положительных знаках 
то необходимо разбить элементы 
на две подсуммы с разностью 
Значения подсумм 
и 
Далее вручную формируем группы 
и 
и 
Аналогично вторая последовательность разбивается на группы
и 
Итоговая сумма равна
Спасибо за уточнения.
Пример, для полного решения задачи необходим: именно он и доказывает, что указанные суммы достигаются.