Произведение всех делителей натурального числа N оканчивается на 399 нулей. На сколько нулей может оканчиваться число N?
Разложим N на простые множители:
где p — наибольший простой множитель и 
Если запись числа N оканчивается n нулями, то или 
или, наоборот, 
Оценим количество делителей k числа 
при этом k делится на 
Первый случай. Если k — четное, то все делители разбиваются на 
пар вида 
так, что произведение делителей в каждой паре равно 
Поэтому произведение всех делителей равно 
Второй случай. Если k — нечетное, то 
делителей разбиваются на пары указанного вида, и есть еще один делитель — 
В этом случае тоже произведение всех делителей: 
Значит, для любого N произведение всех делителей оканчивается 
нулями, следовательно, 
При этом 
откуда следует, что n — делитель числа 798, и 
Выпишем все такие 
Из равенства 
также следует, что 798 делится на Поэтому возможно только 
и 
Для каждого из этих n подберем Ограничимся простыми множителями 2 и 5. Значит, нужно подобрать только 
и 
1. 
2. 
3. 
Таким образом, для 
найдены ( и даже не все) N, оканчивающиеся n нулями, произведение делителей которых оканчивается 399 нулями.
Ответ: 1, 2, 6.