Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел 
В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше 
Найдите наименьшее возможное значение 
Наименьшее возможное значение третьего члена возрастающей последовательности натуральных чисел 
причем только если 
и 
То есть если десятичная дробь начинается так:
(четвертая цифра не 
).
Заметим, что таким образом начинается, например, число
Найдем число m и проверим, удовлетворяет ли оно условиям задачи. Для этого запишем сумму подробнее.
В каждой строчке — сумма геометрической прогрессии со знаменателем 
По формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получаем:
Следовательно, m — рациональное число, и оно представляется дробью со знаменателем 81, что меньше ста. Число m удовлетворяет условию задачи и для этого числа 
Ответ: 3.
Приведем другое решение.
Ясно, что если дробь можно записать в виде 0,123..., то Вспомним, что 
Чтобы уменьшить величину дроби, увеличим ее знаменатель на 1, получим 
Это число дает искомый пример.
Примечание.
Возможны и другие примеры: 
А если число выглядит так 0,101112... -- тоже возрастающая последовательность, 10, 11, 12 -- натуральные числа?
В вашем примере
, т. к. в задаче речь идет не о третьей после запятой цифре числа, а о третьем члене последовательности. Кроме того, построенное вами число не является рациональным.
Я так и не поняла, почему очевидно, что
Правильный ответ: 
т. к. 
Последовательность 
С уважением.
Мери Варжапетян, Гимназия 2.
В приведенном вами примере
, а не 
При непосредственным делении на калькуляторе
Здесь нет возрастающей прогрессии 
как предполагалось в решении. Дело здесь в неправильном представлении числа 
. Члены прогрессии большие 
занимают более одного разряда, что не было учтено в вашем решении.
Про арифметическую прогрессию речи не было. А то, что числа
могут занимать больше одного разряда, учтено. Обратите внимание: в десятичной записи числа после цифры 7 идут 9 и 0, это же получится, если сложить 
.
В решении ошибка.
Выходит, что при количестве разрядов n превышающем 1 мы имеем не запись числа n (как сказано в задании), а слагаемое с увеличением старших разрядов (Вы нарушили условие задания "подряд выписаны", а не просуммированы со сдвигом, равным 1). То есть необходимо из показателя -n вычесть количество разрядов n, уменьшенное на 1, то есть для n-го члена суммы
Кроме того, теперь нужно еще и сдвинуться правее по разрядам, чтобы учесть все предыдущие такие сдвиги.
Ну а это совсем другой ряд, требующий другого решения.
Если же Вы утверждаете, что вопрос стоит только для 3-го разряда, и в получившемся числе (0,123456790123457..) всегда можно выделить поразрядно возрастающую последовательность чисел, то необходимо все-таки указать эту новую последовательность и показать решение для нее. Иначе не имеет смысла вычислять m, можно просто сказать - возьмем любую рациональную бесконечную десятичную дробь, в десятичном представлении которой первые 3 разряда после запятой есть "123" и всегда сможем после цифры "3" последовательно отрезать от нее натуральное число, большее предыдущего. Дробь ведь бесконечная, всегда найдутся ненулевые цифры - требуется только выбирать все большее их количество.
Мы ищем наименьшее возможное значение третьего члена последовательности. Меньше трёх он быть не может, но может равняться трём. Пример — дробь
, в десятичной записи которой можно считать 
Остальная часть решения лишь иллюстрирует то, как можно было найти этот пример.
Сказать «возьмем любую десятичную дробь 0,123... и всегда сможем после цифры 3 последовательно отрезать от нее натуральное число, большее предыдущего» недостаточно: требуется показать, что среди таких десятичных дробей есть такая, которая представляется обыкновенной дробью со знаменателем меньше ста.
Откуда мы взяли 1/9 в в финальной части прогрессии. Где 10/9 на 1/9 равно 10/81. Я уже голову чуть ли не сломал, как у вас она там получилась???
Не знаю, что там у Вас сломалось, но