Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 485966

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 высота равна 1, а сторона основания равна  корень из 2. Точка M — середина ребра AA1.

а) Докажите, что пирамиды MDD_1C_1 и ACDD_1 равновелики.

б) Найдите расстояние от точки M до плоскости DA1C1.

Спрятать решение

Решение.

а) V_MDD_1C_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби C_1D_1 умножить на S_MDD_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби C_1D_1 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби S_ADD_1A_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби V_ABCDA_1B_1C_1D_1.

Аналогично, V_ACDD_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AD умножить на S_CDD_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AD умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби S_CDD_1C_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби V_ABCDA_1B_1C_1D_1.

 

б) Рассмотрим треугольную пирамиду MDA_1C_1. Ее объем можно выразить двумя способами:

1) V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_MA_1D умножить на C_1D_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AD умножить на A_1M умножить на C_1D_1=

= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из 2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .

2) V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_DA_1C_1 умножить на h , где h искомое расстояние.

Приравняем выражения для объемов и выразим его:

h = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2S_DA_1C_1 конец дроби .

Найдем площадь равнобедренного треугольника DA_1C_1. Проведем в нем высоту DH.

DA_1= корень из D_1 A_1 в квадрате плюс DD_1 в квадрате = корень из 2 плюс 1 = корень из 3.

A_1C_1=A_1D_1 умножить на корень из 2 =2,A_1H= дробь: числитель: A_1C_1, знаменатель: 2 конец дроби =1.

DH= корень из DA_1 в квадрате минус A_1H в квадрате = корень из 3 минус 1 = корень из 2.

S_DA_1C_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби A_1C_1 умножить на DH= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 умножить на корень из 2= корень из 2.

Следовательно, искомое расстояние H = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из 2 конец дроби .

Ответ:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ 2
Ход решения верный, но получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки или решение не закончено1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл2
Методы геометрии: Метод объемов