Обе точки K и L не могут ле­жать вне тре­уголь­ни­ка, по­сколь­ку в этом слу­чае от­ре­зок KL не может ка­сать­ся впи­сан­ной окруж­но­сти. Зна­чит, по край­ней мере одна из этих точек лежит на сто­ро­не тре­уголь­ни­ка.

Пусть обе точки K и L лежат на сто­ро­нах тре­уголь­ни­ка (рис. 1).

Четырёхуголь­ник AKLC  — впи­сан­ный, сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит, тре­уголь­ник ABC по­до­бен тре­уголь­ни­ку LBK, так как угол ABC  — общий. Пусть ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен k, тогда

Суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка AKLC равны:

Под­став­ляя из­вест­ные зна­че­ния сто­рон, на­хо­дим Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Пусть точка K лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны AB (рис. 2). Углы AKL и ACL равны, по­сколь­ку опи­ра­ют­ся на одну дугу. Зна­чит, тре­уголь­ник ABC по­до­бен тре­уголь­ни­ку так как угол ABC  — общий. Более того, они опи­са­ны около одной и той же окруж­но­сти. Сле­до­ва­тель­но, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен 1. то есть тре­уголь­ни­ки LBK и ABC равны, по­это­му За­ме­тим, что и точка K дей­стви­тель­но лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны

Если точка L лежит на про­дол­же­нии сто­ро­ны BC, то но ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му слу­чаю по­лу­ча­ем Зна­чит, этот слу­чай не до­сти­га­ет­ся.