Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 501048

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

 дробь: числитель: 4 в степени ( минус x в квадрате ) минус a умножить на 2 в степени (1 минус x в квадрате ) плюс a, знаменатель: 2 в степени (1 минус x в квадрате ) минус 1 конец дроби =3

имеет хотя бы одно решение.

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену z=2 в степени ( минус x в квадрате ) , x в квадрате больше или равно 0, поэтому 0 меньше z меньше или равно 1. Задачу можно сформулировать так: найдите значения a, при каждом из которых уравнение  дробь: числитель: z в квадрате минус 2az плюс a, знаменатель: 2z минус 1 конец дроби =3 имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию 0 меньше z меньше или равно 1.

Перейдем к системе:

 система выражений  новая строка z в квадрате минус 2az плюс a=6z минус 3, новая строка z не равно 0,5,\qquad  новая строка 0 меньше z меньше или равно 1 конец системы . равносильно система выражений  новая строка z в квадрате минус 2(a плюс 3)z плюс a плюс 3=0, новая строка z не равно 0,5,\qquad  новая строка 0 меньше z меньше или равно 1. конец системы .

 

Заметим, что ни при одном значении a число z=0,5 не является корнем уравнения.

Рассмотрим функцию f(z)=z в квадрате минус 2(a плюс 3)z плюс a плюс 3. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий:

1) Трёхчлен имеет два различных корня, и только больший из них лежит на промежутке (0,1], то есть

 система выражений  новая строка f(0) меньше 0, новая строка f(1) больше или равно 0. конец системы .

 

2) Трёхчлен имеет два различных корня, и только меньший из них лежит на промежутке (0,1], то есть

 система выражений  новая строка f(0) больше 0, новая строка f(1) меньше или равно 0. конец системы .

 

3) Трёхчлен имеет два корня, возможно, совпадающих, и оба, а также вершина, лежат на промежутке (0,1], то есть

 система выражений  новая строка f(0) больше 0, новая строка f(1) больше или равно 0,  новая строка f(z_0) меньше или равно 0,  новая строка 0 меньше z_0 меньше или равно 1 конец системы .

 

где z_0=a плюс 3 — абсцисса вершины параболы. Эти условия соответствуют следующим способам расположения графика функции f(z):

Решим первую систему:

 система выражений  новая строка a плюс 3 меньше 0, новая строка 1 минус a минус 3 больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка a меньше минус 3, новая строка a меньше или равно минус 2 конец системы . равносильно a меньше минус 3.

Решим вторую систему:

 система выражений  новая строка a плюс 3 больше 0, новая строка 1 минус a минус 3 меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка a больше минус 3, новая строка a больше или равно минус 2 конец системы . равносильно a\geqslant минус 2.

Решим третью систему:

 система выражений  новая строка a плюс 3 больше 0, новая строка 1 минус a минус 3 больше или равно 0, новая строка левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс a плюс 3 меньше или равно 0,  новая строка 0 меньше a плюс 3 меньше или равно 1 конец системы . равносильно система выражений  новая строка a больше минус 3, новая строка a меньше или равно минус 2,  новая строка совокупность выражений a меньше или равно минус 3, a больше или равно минус 2 конец системы . конец совокупности . равносильно a= минус 2.

 

Приведем решение, предложенное Ириной Владимировной Шраго.

Сделаем замену t=2 в степени ( минус x в квадрате ) , x в квадрате больше или равно 0, поэтому 0 меньше t меньше или равно 1, и преобразуем уравнение.

 дробь: числитель: t в квадрате минус 2at плюс a, знаменатель: 2t минус 1 конец дроби =3 равносильно система выражений t в квадрате минус 2at плюс a=3(2t минус 1), t\not= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений t в квадрате минус 6t плюс 3=a(2t минус 1), t\not= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы .

 

Задачу можно сформулировать так: найдите значения a, при каждом из которых уравнение t в квадрате минус 6t плюс 3=a(2t минус 1) имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию 0 меньше t, меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше t меньше или равно 1. Левая часть этого уравнения функция f(t)=t в квадрате минус 6t плюс 3, графиком которой является парабола, правая часть функция g(t)=a(2t минус 1) — пучок прямых проходящих через точку  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , 0 правая круглая скобка . Для того, чтобы исходное уравнение имело решение, необходимо, чтобы графики пересекались при 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше t меньше или равно 1.

Определим, при каких a графики касаются, в этом случае дискриминант уравнения t в квадрате минус 2(a плюс 3)t плюс 3 плюс a=0 должен быть равен нулю.  дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби =(a плюс 3) в квадрате минус (a плюс 3)=(a плюс 3)(a плюс 2)=0, откуда a = –3 или a = –2. В первом случае касание происходит при t=0, а во втором при t=1. Таким образом, при a меньше минус 3 — графики пересекаются на промежутке  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка , при  минус 3 меньше или равно a меньше минус 2 — графики не пересекаются, при a больше или равно минус 2 — графики пересекаются на промежутке  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая квадратная скобка .

Откуда и следует ответ.

 

 

Ответ: a меньше минус 3, a\geqslant минус 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным количеством точек.3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а.2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Методы алгебры: Введение замены