СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 501125

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA'B'C'D'E'F' все ребра равны 1.

а) Докажите, что AC' перпендикулярна прямой BE.

б) Найдите угол между прямой AC' и плоскостью ACD'.

Решение.

а) Проекция прямой AC' на плоскость ABC − прямая AC. В правильном шестиугольнике ABCDEF диагонали AC и BE перпендикулярны. Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, .

б) Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат:

откуда

Плоскость проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид Для координат точек и имеем систему уравнений:

Не теряя общности, положим тогда Уравнение плоскости : вектор нормали к ней Тогда искомый угол между прямой и плоскостью равен

Ответ:

 

Приведем другое решение пункта б).

Заметим, в силу того, что и значит, плоскость содержит прямую следовательно, и — проекция Следовательно, — искомый, так как это угол между прямой и ее проекцией

Рассмотрим прямоугольный

(т. к. — диагональ квадрата )

Ответ:

Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат
Классификатор стереометрии: Правильная шестиугольная призма, Сечение, проходящее через три точки, Угол между прямой и плоскостью
Спрятать решение · ·
Гость 31.05.2013 15:39

Скалярное произведение векторов — это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Тогда почему синус а не косинус получился?

Константин Лавров

В формуле угла между прямой и плоскостью синус т .к. это угол между прямой и нормалью к этой плоскости.

Руслан Мельничук 01.05.2016 15:39

Если ответ записать через тангенс угла, его зачтут?

Константин Лавров

Да.

Черемнов Артём 10.05.2016 10:44

Почему во втором решении Спасибо.

Константин Лавров

Потому, что это малая диагональ правильногого шестиугольника.