Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 504241

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны 5 корень из 2. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен  корень из 2, L — середина ребра MB.

а) Докажите, что плоскости AOL и MDB перпендикулярны.

б) Найдите высоту данной пирамиды.

Спрятать решение

Решение.

а) Заметим, что AC\perp BD, как диагонали квадрата. Кроме того, AC\perp OM. Поэтому, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, AC\perp MDB. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, AOL\perp MDB.

 

б) Обозначим угол между DM и AL буквой  альфа . Пусть MO — высота пирамиды MABCD. Тогда OL — средняя линия треугольника BDM, следовательно, OL||MD. Поэтому \angle ALO= альфа . По условию  тангенс альфа = корень из 2.

Основание ABCD — квадрат со стороной, равной 5 корень из 2. Следовательно, OA\bot OB, OL \bot OA, OA=5. Далее, из прямоугольного треугольника AOL находим:

 

OL= дробь: числитель: OA, знаменатель: тангенс альфа конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: корень из 2 конец дроби .

Боковое ребро MD=2OL=5 корень из 2, поскольку OL — средняя линия треугольника BDM. Далее, из прямоугольного треугольника MOD находим искомую высоту MO пирамиды MABCD:

 

MO= корень из MD в квадрате минус OD в квадрате = корень из MD в квадрате минус OD в квадрате =5.

 

Ответ: 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической

задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено.

ИЛИ

При правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных

выше.

0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 504241: 504262 510363 511386 Все

Раздел: Стереометрия
Спрятать решение · ·
Денис Прытов 26.02.2016 15:39

Боковое ребро MD=2OL= дробь: числитель: 10, знаменатель: корень из 2 конец дроби , а не 5 корень из 2?

Александр Иванов

 дробь: числитель: 10, знаменатель: корень из 2 конец дроби = дробь: числитель: 10 корень из 2, знаменатель: корень из 2 умножить на корень из 2 конец дроби =5 корень из 2

Александра Кислицына 04.06.2016 20:36

У вас не доказано, почему OL перпендикулярно OA

Константин Лавров

OL лежит в плоскости MBD, которая перпендикулярна AC, это очевидно.