Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 505566

В конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5.

а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.

б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.

Спрятать решение

Решение.

а) Осевым сечением является равнобедренный треугольник ABC, боковые стороны которого являются образующими конуса, а основанием — его диаметр, и вписанная в треугольник окружность, радиус которой равен радиусу шара (см. рис.).

б) Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть O — центр вписанной окружности, отрезок CO  — биссектриса угла ACB и пусть \widehatHCO= альфа , имеем:

 тангенс альфа = дробь: числитель: OH, знаменатель: HC конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,	 тангенс \widehatHCB= тангенс 2 альфа = дробь: числитель: 2 тангенс альфа , знаменатель: 1 минус тангенс в квадрате альфа конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 1 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .

Тогда BH=HC тангенс \widehatHCB=4,BC= корень из (3) в квадрате плюс 4 в квадрате =5. Для площадей поверхностей конуса и шара имеем: S_кон= Пи R в квадрате плюс Пи Rl=9 Пи плюс 15 Пи =24 Пи ,S_ш=4 Пи {r в квадрате =4 Пи (1,5) в квадрате =9 Пи . Тем самым, искомое отношение равно  дробь: числитель: 24, знаменатель: 9 конец дроби или 8:3.

 

Ответ: 8:3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 505566: 511411 Все

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике.
Методы геометрии: Тригонометрия в геометрии
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Виктор Дюков 07.05.2017 16:01

Если записать 2.67, то это будет ошибкой?

Константин Лавров

Естественно. Это ж другое число.