Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 505568

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 2 и 4. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.

а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.

б) Найдите площадь треугольника АСВ.

Спрятать решение

Решение.

а) Введём обозначения, как показано на рисунке, пусть M, H, N — точки касания. Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны: AM = AN, CM = CH, HB = BN. Поэтому:

P=AC плюс CH плюс HB плюс AB=AC плюс CM плюс BN плюс AB=AM плюс AN=2AM,

откуда p = AM, где Р — периметр, p — полупериметр треугольника.

б) Для определения площади треугольника используем формулу, связывающую её с полупериметром, стороной и радиусом вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других сторон треугольника:

S=(p минус AC) умножить на r_1=(AM минус AC)r_1=CMr_1=r_2r_1=8.

 

Ответ: S_ACB=8.

 

Примечание: указанная в решении формула легко может быть получена из следующих соображений S_ACB=S_ABCO_1 минус S_ACO_1, где O1 — центр окружности с радиусом r1. При этом S_ACO_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC умножить на r_1, S_ABCO_1=S_ABO_1 плюс S_BCO_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB умножить на r_1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC умножить на r_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (AB плюс BC) умножить на r_1.

Тогда S_ACB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (AB плюс BC) умножить на r_1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC умножить на r_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ((AB плюс BC плюс AC) минус 2AC) умножить на r_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (P_ABC минус 2AC) умножить на r_1=(p минус AC) умножить на r_1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 505568: 511412 Все

Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике.