Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 505569

Определите, при каких значениях параметра a уравнение

|x минус 2|=a логарифм по основанию 2 |x минус 2|

имеет ровно два решения.

Спрятать решение

Решение.

Пусть |x минус 2|=t, тогда уравнение принимает вид

t=a логарифм по основанию 2 t, (*)

где t больше 0. Чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, уравнение (⁎) должно иметь единственное решение.

Если a=0, то уравнение не имеет решений.

Если a меньше 0, то уравнение имеет единственное решение (см. рис.).

Если a больше 0 уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямая y=t касается графика функции y=a логарифм по основанию 2 t (см. рис.), что задаётся системой соотношений:

 система выражений  новая строка t'=(a логарифм по основанию 2 t)',  новая строка t=a логарифм по основанию 2 t конец системы . равносильно система выражений  новая строка 1= дробь: числитель: a, знаменатель: t\ln 2 конец дроби ,  новая строка t=a логарифм по основанию 2 t  конец системы . равносильно система выражений  новая строка t= дробь: числитель: a, знаменатель: \ln 2 конец дроби ,  новая строка t= дробь: числитель: a\ln t, знаменатель: \ln 2 конец дроби  конец системы . равносильно система выражений  новая строка a=t\ln 2,  новая строка \ln t=1 конец системы . равносильно система выражений  новая строка a=e\ln 2,  новая строка t=e. конец системы .

Заметим, что найденное значение параметра, действительно, положительно.

 

Ответ: a меньше 0, a=e\ln 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a

ИЛИ

установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: РЕШУ ЕГЭ — Предэкзаменационная работа 2014 по математике.
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Гость 03.04.2015 13:30

Спрашивается же когда ровно 2 решения. А в ответе когда единственное решение.

Александр Иванов

Прочитайте внимательно первый абзац решения

Роман (Подольск, Московская область) 25.07.2015 10:39

Почему при a=0 нет решений?

При a=0 получается уравнение t=0 или |x минус 2|=0.

Есть одно решение.

Константин Лавров

Не плохо было бы еще учесть ОДЗ, не правда ли?

Лиза Кронштадская 19.10.2016 11:30

Вы нашли, когда, урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, а спрашивают, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния.

Александр Иванов

Решение и ответ верные