Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505589

В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M. Известно, что AD = 8, AB = 4, угол CDB равен 60 градусов.

а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.

б) Найдите длину EM.

Решение.

а) Углы ∠BDC и ∠BAC равны, так как они опираются на одну и ту же дугу BC. Тогда в ΔABE угол ∠ABE = 30° (так как ∠BAC = 60°). Обозначим точку пересечения прямой ME со стороной AB за K. Тогда в прямоугольном треугольнике BKE угол ∠BEK = 60°. Далее, ∠BEK = ∠MED = 60° (как вертикальные). Отсюда получаем, что ΔEDM — равносторонний (так как все углы по 60°), то есть EM = ED = MD ~ x. Так как в прямоугольном треугольнике CED против угла в 30° лежит катет, в 2 раза меньший гипотенузы, то CD = 2x. Получили, что так как DM = x, точка M является серединой гипотенузы CD, то есть EM — медиана ΔCED. Что и требовалось доказать.

б) Из ΔABE получаем, что AE = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AB = 2. Тогда по теореме Пифагора из ΔADE получаем:

ED = корень из { AD в степени 2 минус AE в степени 2 } = корень из { 64 минус 4} = 2 корень из { 15}.

Отсюда получаем, что EM = ED = 2 корень из { 15}.

 

Ответ: 2 корень из { 15}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 40.
Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружности, Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Четырёхугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями