Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 505593
i

Плос­кость, про­ве­ден­ная через центр шара, впи­сан­но­го в конус, па­рал­лель­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, делит объем ко­ну­са по­по­лам. Найти угол при вер­ши­не осе­во­го се­че­ния ко­ну­са.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Сде­ла­ем вы­нос­ной чер­теж осе­во­го се­че­ния ко­ну­са.

Вы­пи­шем объ­е­мы ис­ход­но­го ко­ну­са и от­се­чен­но­го ко­ну­са (со­от­вет­ству­ет бук­вам MBN):

V_ABC = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи умно­жить на HC в квад­ра­те умно­жить на BH,

 

V_MBN = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи умно­жить на ON в квад­ра­те умно­жить на BO.

Вве­дем обо­зна­че­ние ∠OBN  =  α. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BHC имеем тан­генс альфа = дробь: чис­ли­тель: HC, зна­ме­на­тель: BH конец дроби , от­ку­да HC = BH умно­жить на тан­генс альфа ; из тре­уголь­ни­ка BON имеем тан­генс альфа = дробь: чис­ли­тель: ON, зна­ме­на­тель: BO конец дроби , от­ку­да ON = BO умно­жить на тан­генс альфа .

 

Так как V_MBN = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби V_ABC, то по­лу­чим:

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи умно­жить на HC в квад­ра­те умно­жить на BH = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи умно­жить на ON в квад­ра­те умно­жить на BO рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на BH в кубе умно­жить на тан­генс в квад­ра­те альфа = BO в кубе умно­жить на тан­генс в квад­ра­те альфа рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но BH в кубе = 2 умно­жить на BO в кубе рав­но­силь­но BH= BO ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Те­перь: OH = OK = r  — ра­ди­ус впи­сан­ной сферы.

r = OH = BH минус BO = BO левая круг­лая скоб­ка ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BKO по­лу­чим:

синус альфа = дробь: чис­ли­тель: OK, зна­ме­на­тель: BO конец дроби = дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: BO конец дроби = ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 1.

Зна­чит альфа = арк­си­нус левая круг­лая скоб­ка ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , от­ку­да \angle B = 2 альфа = 2 арк­си­нус левая круг­лая скоб­ка ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: 2 арк­си­нус левая круг­лая скоб­ка ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 41
Классификатор стереометрии: Впи­сан­ный шар, Ком­би­на­ции круг­лых тел, Конус, Шар
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025