Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505595

Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямой BC, а через вершины B и C — другая окружность, касающаяся прямой AB. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает отрезок AC в точке E, а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F.

а) Доказать, что площади треугольников ABC и ABF равны.

б) Найти отношение AE : EC, если AB = 5 и BC = 9.

Решение.

Окружность с центром в O1 будем называть первой окружностью, с центром в O2 — второй окружностью.

а) У треугольников ABC и ABF общее основание AB. Значит, для равенства площадей надо доказать равенство их высот, опущенных из вершин C и F соответственно. Следовательно, надо доказать параллельность прямых AB и FC: это можно получить, если вывести равенство углов ∠AFC и ∠BAF (накрест лежащие).

Во-первых, во второй окружности углы ∠DBC и ∠DFC равны, так как они опираются на одну и ту же дугу DC.

Во-вторых, угол между касательной к окружности и хордой равен половине дуги, опирающейся на эту хорду. Тогда из первой окружности получим, что \angle{DBC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 \angle{DO_1B} = \angle{DAB} (вписанный угол равен половине центрального). Таким образом получили, что ∠BAF = ∠AFC, то есть AB || FC, значит, высоты треугольников равны, и их площади совпадают.

Что и требовалось доказать.

б) Аналогично углам ∠BAD и ∠BDC получаем, что ∠ABD = ∠BCD (угол ∠ABD между касательной ко второй окружности и хордой BD равен углу ∠BCD, опирающемуся на эту хорду). Таким образом получаем, что ΔABD ~ ΔBCD (по 2 углам). Так как ∠ADB = ∠BDC = α, то ∠ADE = π − α, ∠CDE = π − α, то есть ∠ADE = ∠CDE, откуда следует, что DE — биссектриса треугольника ADC. Тогда из свойства биссектрисы имеем соотношение

 дробь, числитель — AE, знаменатель — EC = дробь, числитель — AD, знаменатель — DC .

Теперь воспользуемся подобием треугольников ABD и BCD:

 дробь, числитель — AD, знаменатель — BD = дробь, числитель — BD, знаменатель — DC = дробь, числитель — AB, знаменатель — BC \equiv дробь, числитель — 5, знаменатель — 9 .

Из второго равенства выше выразим BD: BD = дробь, числитель — 5, знаменатель — 9 DC. Подставим это в первое равенство:

 дробь, числитель — AD, знаменатель — BD = дробь, числитель — 5, знаменатель — 9 \Rightarrow дробь, числитель — AD, знаменатель — дробь, числитель — 5, знаменатель — 9 DC = дробь, числитель — 5, знаменатель — 9 \ равносильно дробь, числитель — AD, знаменатель — DC = левая круглая скобка дробь, числитель — 5, знаменатель — 9 правая круглая скобка в степени 2 .

Окончательно получаем, что  дробь, числитель — AE, знаменатель — EC = дробь, числитель — AD, знаменатель — DC = дробь, числитель — 25, знаменатель — 81 .

 

Ответ: 25 : 81.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 41.
Методы геометрии: Свойства биссектрис, Свойства касательных, секущих, Свойства хорд, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и треугольники, Подобие