СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505611

В тетраэдре ABCD на ребре AB взята точка K, на ребре AC — точка L, на ребре BD — точка N, на ребре СD — точка M. Точки E и G есть середины ребер AD и BC соответственно. Прямые EG, KM и LN пересекаются в одной точке. Найти площадь четырехугольника KLMN, если AK : KB = 5, AD = 9, BC = 9, а угол между скрещивающимися прямыми AD и BC равен 45°.

Решение.

Пусть Тогда

Поскольку EM и KG лежат в одной плоскости, они пересекаются на прямой AC (пусть в точке Q). По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой KGQ имеем , поэтому

По теореме Менелая для треугольника ADC и прямой EMQ имеем , поэтому Тогда имеем

Вектор из D в точку пересечения EG и MK представляется в виде и в виде

Приравнивая коэффициенты при равных векторах, находим поэтому этот вектор раскладывается как

Теперь пусть

Приравнивая коэффициенты при равных векторах, находим

Итак,

Значит, поэтому KLMN — параллелограмм и

 

Ответ: