СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505617

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S угол между бо­ко­вым реб­ром и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 1, SH — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку H па­рал­лель­но реб­рам SA и BC.

Решение.

Построение сечения.

Строим последовательно:

1. Отрезок KL,

2. Отрезок

3. Отрезок

4. Отрезок MN.

Докажем, что LMNK — искомое сечение.

Во-первых, LM || SA, KN || SA, следовательно, LM || KN. Поскольку через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, то точки L, M, N, K принадлежат одной плоскости.

Во-вторых, SA || LM по построению, значит, SA || (LM); аналогично KL || BC (по построению), следовательно, BC || (LM).

Теперь докажем, что LMNK — прямоугольник.

Проведем биссектрису угла BAC. Очевидно, она пройдет через точку H, разделит отрезок BC на два равных отрезка (обозначим точку пересечения P), будет перпендикулярной к отрезку BC.

Соединим точки S и P отрезком.

Далее мы вправе утверждать, что при зеркальной симметрии относительно плоскости SA заданная пирамида перейдет сама на себя. Причем, вершины пирамиды A и S, точка P перейдут сами в себя, вершина В перейдет в вершину С и, наоборот, точка С перейдет в точку В. Так как KL || BC, то точки К и L перейдут друг в друга (по теореме Фалеса будет справедливым равенство АК : КС = АL : LB), кроме того, АС = АВ по условию. Аналогично и точки M и N перейдут друг в друга, поскольку при той же симметрии и перейдут друг на друга.

Тогда справедливы равенства: KN=LM, KM=LN.

Из равенства отрезков KN и LM, а также их параллельности (показано выше) следует, что четырехугольник LMNK — параллелограмм, А так как у него равны диагонали, то этот параллелограмм - прямоугольник.

Осталось вычислить площадь прямоугольника LMNK.

Так как — равносторонний, то

В где

Так как KL || BC, то Отсюда:

Из параллельности AS и ML следует, что

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 45.
Классификатор стереометрии: Площадь сечения, Правильная треугольная пирамида, Сечение -- параллелограмм, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой