Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505619

В треугольнике ABC угол В прямой, точка М лежит на стороне АС, причем АМ : СМ= корень из { 3}:4. Величина угла АВМ равна 60 градусам, BM = 8.

а) Найдите величину угла ВАС;

б) Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ВСМ и ВАМ.

Решение.

а) Пусть AM= корень из { 3} умножить на x, тогда MC=4x (рис.1).

По теореме синусов будем иметь:

В \Delta ABM: дробь, числитель — BM, знаменатель — синус \angle BAC = дробь, числитель — AM, знаменатель — синус \angle ABM .

 синус \angle BAC= дробь, числитель — BM умножить на синус {{60} в степени \circ }, знаменатель — AM = дробь, числитель — 8 умножить на корень из { 3}, знаменатель — 2 умножить на корень из { 3 умножить на x }= дробь, числитель — 4, знаменатель — x .

В \Delta BCM: дробь, числитель — BM, знаменатель — синус \angle BCM = дробь, числитель — MC, знаменатель — синус \angle MBC . Так как \angle BCM={{90} в степени \circ } минус \angle BAC,

то  синус \angle BCM= косинус \angle BAC.

 

Значит,  косинус \angle BAC= дробь, числитель — BM умножить на синус \angle MBC, знаменатель — MC = дробь, числитель — 8 умножить на 1, знаменатель — 2 умножить на 4x = дробь, числитель — 1, знаменатель — x .

Ясно, что  тангенс \angle BAC= дробь, числитель — 4, знаменатель — x : дробь, числитель — 1, знаменатель — x =4. \angle BAC=\arctg4.

б) Пусть {{O}_{2}} — центр окружности, описанной около \Delta BAM, {{O}_{1}} — центр окружности, описанной около \Delta BCM. (Рис. 2).

Очевидно, что точки {{O}_{1}} и {{O}_{2}} лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BM. Пусть он пересекает BM в точке D. Тогда DM=4,{{O}_{1}}{{O}_{2}}\bot DM.

Наша задача — найти длину отрезка {{O}_{1}}{{O}_{2}}.{{O}_{1}}{{O}_{2}}={{O}_{1}}D плюс {{O}_{2}}D.

Найдем {{O}_{2}}M и {{O}_{1}}M, которые являются радиусами названных окружностей.

Нам понадобятся значения синуса и косинуса угла BAM.

 дробь, числитель — 1, знаменатель — {{ косинус в степени 2 }\angle BAM}=1 плюс {{ тангенс } в степени 2 }\angle BAM=17;{{ косинус } в степени 2 }\angle BAM= дробь, числитель — 1, знаменатель — 17 ;

 косинус \angle BAM= дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 17 }; синус \angle BAM= корень из { 1 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 17 }= дробь, числитель — 4, знаменатель — корень из { 17 }.

По следствию из теоремы синусов будем иметь:  дробь, числитель — BM, знаменатель — синус \angle BAM =2 умножить на {{O}_{2}}M.{{O}_{2}}M= дробь, числитель — BM, знаменатель — 2 синус \angle BAM = дробь, числитель — 8 умножить на корень из { 17}, знаменатель — 2 умножить на 4 = корень из { 17}.

 дробь, числитель — BM, знаменатель — синус \angle BCM =2 умножить на {{O}_{1}}M; дробь, числитель — BM, знаменатель — косинус \angle BAM =2 умножить на {{O}_{1}}M; дробь, числитель — BM, знаменатель — 2 косинус \angle BAM ={{O}_{1}}M;{{O}_{1}}M= дробь, числитель — BM, знаменатель — 2 косинус \angle BAM = дробь, числитель — 8 умножить на корень из { 17}, знаменатель — 2 =4 корень из { 17}.

В \Delta MD{{O}_{2}}, где \angle MD{{O}_{2}}={{90} в степени \circ }, по теореме Пифагорa получим: {{O}_{2}}D= корень из { {{O}_{2}}{{M} в степени 2 } минус D{{M} в степени 2 }}= корень из { 17 минус 16}=1.

В \Delta MD{{O}_{1}} аналогично {{O}_{1}}D= корень из { {{O}_{1}}{{M} в степени 2 } минус D{{M} в степени 2 }}= корень из { 16 умножить на 17 минус 16}=16.{{O}_{1}}{{O}_{2}}={{O}_{1}}D плюс {{O}_{2}}D=16 плюс 1=17.

 

Ответ: а) \arctg4; б) 17.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 45.
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружности, Окружности и системы окружностей, Окружность, описанная вокруг треугольника