СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505625

Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K и L соответственно.

а) Докажите, что MK = NL.

б) Найдите MN, если известно, что BC = 3, AD = 8 и MK : KL = 1 : 3.

Решение.

В решении задачи будем использовать подобие треугольников и теорему Фалеса.

а) Треугольники AMK и ABC подобны по 2 углам (∠ A — общий, ∠AMK = ∠ABC, как соответственные при параллельных прямых). Тогда По теореме Фалеса получаем откуда

 

 

(последнее равенство следует из подобия треугольников BDC и LDN по двум углам). Следовательно, , откуда MK = NL. Что и требовалось доказать.

 

б) Обозначим MK = NL x, KL = 3x. Из треугольников ABC и AMK:

Из подобных треугольников ACD и KCN (опять же по 2-м углам):

Обозначим и выпишем полученную систему двух уравнений:

Окончательно

 

Ответ: 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 46.
Методы геометрии: Теорема Фалеса
Классификатор планиметрии: Многоугольники, Подобие