Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505655

Биссектриса CD угла ACB при основании равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) делит сторону AB так, что AD = BC = 2.

а) Докажите, что CD = BC.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Решение.

а) По свойству биссектрисы получим:

 дробь, числитель — AC, знаменатель — AD = дробь, числитель — BC, знаменатель — BD \Rightarrow дробь, числитель — a, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 2, знаменатель — a минус 2 \Rightarrowa в степени 2 минус 2a минус 4 = 0 равносильно

(a минус 1) в степени 2 = 5\Rightarrowa = 1 плюс корень из { 5}.

Воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:

 дробь, числитель — BC, знаменатель — синус \angle A = дробь, числитель — AC, знаменатель — синус \angle B \Rightarrow дробь, числитель — 2, знаменатель — синус (180 в степени circ минус 4\alpha) = дробь, числитель — 1 плюс корень из { 5}, знаменатель — синус 2\alpha

\Rightarrow2 синус 2\alpha = (1 плюс корень из { 5}) синус 4\alpha\Rightarrow косинус 2\alpha = дробь, числитель — 1, знаменатель — 1 плюс корень из { 5 } равносильно

 равносильно косинус 2\alpha = дробь, числитель — корень из { 5} минус 1, знаменатель — (1 плюс корень из { 5 )( корень из { 5} минус 1)}= дробь, числитель — корень из { 5} минус 1, знаменатель — 4 .

Осталось по теореме косинусов найти CD из треугольника BCD:

CD в степени 2 = BC в степени 2 плюс BD в степени 2 минус 2 умножить на BC умножить на BD умножить на косинус \angle B\Rightarrow

 

CD в степени 2 = 4 плюс ( корень из { 5} минус 1) в степени 2 минус 2 умножить на 2 умножить на ( корень из { 5} минус 1) умножить на дробь, числитель — корень из { 5} минус 1, знаменатель — 4 =

 

= 4 плюс ( корень из { 5} минус 1) в степени 2 минус ( корень из { 5} минус 1) в степени 2 = 4\RightarrowCD = 2.

Таким образом CD = BC = 2. Что и требовалось доказать.

 

 

б) Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

S = корень из { p(p минус a)(p минус b)(p минус c)},\text{где } p = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 левая круглая скобка 1 плюс корень из { 5} плюс 2 плюс 1 плюс корень из { 5} правая круглая скобка = 2 плюс корень из { 5} .

S_{ABC}= корень из { (2 плюс корень из { 5})(2 плюс корень из { 5} минус (1 плюс корень из { 5})) в степени 2 (2 плюс корень из { 5} минус 2)} = корень из { корень из { 5}(2 плюс корень из { 5})} = корень из { 5 плюс 2 корень из { 5}}.

 

Ответ: S_{ABC} = корень из { 5 плюс 2 корень из { 5}}.

 

Примечание: в данной задаче получилось, что ADC равнобедренный, откуда \angle A = \angle ACD = \alpha , откуда 180 в степени circ минус 4\alpha = \alpha\Rightarrow\alpha = 36 в степени circ.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 50.
Методы геометрии: Свойства биссектрис, Теорема косинусов, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Треугольники