СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505665

На ребрах AA1 и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечены соответственно точки E и F такие, что AE = 2A1E, CF = 2C1F. Через точки B, E и F проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношения объема части, содержащей точку B1, к объему всего куба.

Решение.

Для удобства будем считать, что куб единичный. Тогда отрезки AE и CF равны по В плоскости грани ABB1A1 продолжим прямую BE до пересечения с прямой A1B1, в плоскости грани BB1С1С продолжим прямую BF до пересечения с прямой B1C1. Полученные точки P и S лежат в одной плоскости грани A1B1C1D1. Соединяя их, получим точки M и N, как пересечения PS с ребрами A1D1 и D1C1 соответственно. Осталось соединить все точки, и в сечении получается пятиугольник BEMNF.

Треугольники A1PE и ABE подобны по 2 углам (∠PEA1 = ∠BEA, как вертикальные; ∠PA1E = ∠EAB = 90°), тогда

Аналогично Далее, треугольники PA1M и PB1S подобны по 2-м углам, откуда получим:

Аналогично

Объем нужной нам части можно найти, как разность объемов прямоугольной пирамиды и прямоугольных пирамид и (так как эти малые пирамиды равны, то можно просто вычесть 2 объема одной пирамиды):

 

Тогда получим:

 

Ответ: 25 : 72.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 52.
Классификатор стереометрии: Куб, Объем тела, Построения в пространстве, Сечение, проходящее через три точки