СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505695

У Северного полюса, на острове Шпицберген в чертогах Снежной королевы хранился небывалой красоты ледяной алмаз в форме тетраэдра SABC. В Новогоднюю ночь злой тролль похитил часть алмаза, и эта часть имеет форму тетраэдра SAKM. Его верные ученики и от оставшейся части взяли себе кусок и тоже в форме тетраэдра — KABC. Снежной королеве осталась часть алмаза, и она имеет форму тетраэдра CAKM. Какую часть первоначального алмаза оставили Снежной королеве тролль и ученики? В треугольнике ABC угол B равен 90°, AB = 3, BC = 4, AS перпендикулярно плоскости ABC, AS = 4, AK перпендикулярно SB, AM перпендикулярно SC.

Решение.

Заметим, что M лежит на ребре SC, K — на ребре SB и являются основаниями соответствующих высот.

Поскольку прямая CB перпендикулярна прямым AB и CB, она перпендикулярна плоскости ABS. Плоскости ABS и CBS пересекаются по прямой BS, перпендикулярной AK, поэтому прямая AK перпендикулярна плоскости CBS.

Следовательно, тетраэдры SABC и CAKM имеют общую высоту AK, поэтому их объемы относятся как их основания.

Отрезок AK — высота прямоугольного треугольника ABS, проведенная к гипотенузе BS. Поэтому и

Далее, отрезок AM — высота прямоугольного треугольника CAS, проведенная к гипотенузе CS. Поэтому и

Итак, откуда

 

Ответ:

 

Укажем другой подход.

Найдем, какую часть объема исходного тетраэдра SABC составляют отсеченные тетраэдры KABC и SAKM.

Тетраэдры SABC и KABC имеют общее основание, поэтому их объемы относятся как их высоты. Высоты, в свою очередь, относятся как гипотенузы соответствующих подобных треугольников:

(использовано свойство прямоугольного треугольника, см. примечание).

Далее,

Найдем, какую часть объема составляет оставшаяся часть тетраэдра:

 

Приведем ещё одно решение.

Объемы тетраэдров с сонаправленными ребрами относятся как произведения этих ребер. Поэтому:

Аналогично,

Тогда

 

Примечание 1.

(*) Во всех решениях использована следующая теорема: в прямоугольном треугольнике с катетами а и b и гипотенузой с, высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки и Отношение этих отрезков к гипотенузе равны и

 

Примечание 2.

В последнем решении можно было бы заметить, что откуда следует общая формула для ответа:

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 57.
Классификатор стереометрии: Объем как сумма объемов частей, Тетраэдр