≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505739

В треугольнике АВС AB = BC = 10, AC = 12. Биссектриса угла ВАС пересекает сторону BC в точке D и описанную около треугольника окружность в точке P.

а) Докажите, что ∠ABP = ∠BDP.

б) Найдите отношение площадей треугольников ADB и BDP.

Решение.

а) Угол ABP — вписанный. Он измеряется половиной градусной меры дуги АСР. Угол BDP как угол между двумя пересекающимися хордами окружности измеряется градусной мерой полусуммы дуг ВnР и АqС.

Но градусные меры дуг ВnР и РmС равны, поскольку на них опираются равные вписанные углы ВАР и САР. А сумма дуг AqC и CmP составляет дугу ACР.

Таким образом, углы ABP и BDP измеряются градусной мерой одной и той же дуги и одной и той же окружности. Значит, что и требовалось доказать.

б) Пусть ВD = x, тогда СD = 10 – х. По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника будем иметь: AB : AC = BD : CD, т. е.

Итак,

Вычислим длину биссектрисы AD треугольника АВС. Как известно, ее квадрат можно вычислить по формуле:

Известно также свойство двух пересекающихся хорд одной и той же окружности, согласно которому Откуда:

Треугольники ADB и BDP с основаниями AD и PD имеют общую высоту, проведенную к этим основаниям или к продолжению одного из них. Следовательно,

Примечание:

1. Предположим, что мы не помним (не знаем) формулы квадрата биссектрисы. В таком случае как можно найти длину биссектрисы AD при решении данной задачи?

Можно так:

Проведем высоту ВК треугольника АВС к основанию АС. Это с одной стороны.

 

Но с другой же стороны, если то:

(числа 3; 4 и 5 – пифагорова тройка).

Итак,

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 64.