Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505739

В треугольнике АВС AB = BC = 10, AC = 12. Биссектриса угла ВАС пересекает сторону BC в точке D и описанную около треугольника окружность в точке P.

а) Докажите, что ∠ABP = ∠BDP.

б) Найдите отношение площадей треугольников ADB и BDP.

Решение.

а) Угол ABP — вписанный. Он измеряется половиной градусной меры дуги АСР. Угол BDP как угол между двумя пересекающимися хордами окружности измеряется градусной мерой полусуммы дуг ВnР и АqС.

Но градусные меры дуг ВnР и РmС равны, поскольку на них опираются равные вписанные углы ВАР и САР. А сумма дуг AqC и CmP составляет дугу ACР.

Таким образом, углы ABP и BDP измеряются градусной мерой одной и той же дуги и одной и той же окружности. Значит, \angle ABP=\angle BDP, что и требовалось доказать.

б) Пусть ВD = x, тогда СD = 10 – х. По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника будем иметь: AB : AC = BD : CD, т. е.

10:12=x:(10 минус x);10 умножить на (10 минус x)=12x равносильно 100 минус 10x=12x равносильно  равносильно 22x=100 равносильно x= дробь, числитель — 50, знаменатель — 11 .

Итак, BD= дробь, числитель — 50, знаменатель — 11 ;CD=10 минус дробь, числитель — 50, знаменатель — 11 = дробь, числитель — 60, знаменатель — 11 .

Вычислим длину биссектрисы AD треугольника АВС. Как известно, ее квадрат можно вычислить по формуле: A{{D} в степени 2 }=AB умножить на AC минус BD умножить на CD.

A{{D} в степени 2 }=120 минус дробь, числитель — 3000, знаменатель — 121 = дробь, числитель — 120 умножить на 121 минус 3000, знаменатель — 121 = дробь, числитель — 120 умножить на (121 минус 25), знаменатель — 121 = дробь, числитель — 120 умножить на 96, знаменатель — 121 = дробь, числитель — 24 умножить на 24 умножить на 4 умножить на 5, знаменатель — 121 .AD= дробь, числитель — 48 корень из { 5}, знаменатель — 11 .

Известно также свойство двух пересекающихся хорд одной и той же окружности, согласно которому AD умножить на PD=BD умножить на CD. Откуда:

PD= дробь, числитель — BD умножить на CD, знаменатель — AD = дробь, числитель — дробь, числитель — 50, знаменатель — 11 умножить на дробь, числитель — 60, знаменатель — 11 умножить на 11, знаменатель — { 48 корень из { 5}}= дробь, числитель — 3000, знаменатель — 11 умножить на 48 корень из { 5 }= дробь, числитель — 125, знаменатель — 22 корень из { 5 }= дробь, числитель — 125 корень из { 5}, знаменатель — 22 умножить на 5 = дробь, числитель — 25 корень из { 5}, знаменатель — 22 .

Треугольники ADB и BDP с основаниями AD и PD имеют общую высоту, проведенную к этим основаниям или к продолжению одного из них. Следовательно,

 дробь, числитель — S(ADB), знаменатель — S(BDP) = дробь, числитель — AD, знаменатель — PD = дробь, числитель — 48 корень из { 5}, знаменатель — 11 : дробь, числитель — 25 корень из { 5}, знаменатель — 22 = дробь, числитель — 48 корень из { 5} умножить на 22, знаменатель — 11 умножить на 25 корень из { 5 }= дробь, числитель — 96, знаменатель — 25 .

Примечание:

1. Предположим, что мы не помним (не знаем) формулы квадрата биссектрисы. В таком случае как можно найти длину биссектрисы AD при решении данной задачи?

Можно так:

Проведем высоту ВК треугольника АВС к основанию АС. AK=6;BK= корень из { A{{B} в степени 2 } минус A{{K} в степени 2 }}=8.S(ABC)=6 умножить на 8=48. Это с одной стороны.

 

Но с другой же стороны, если \angle BAD=\angle CAD=\alpha , то:

S(ABC)=S(ABD) плюс S(ADC)=0,5AB умножить на AD умножить на синус \alpha плюс 0,5AC умножить на AD умножить на синус \alpha =0,5AD умножить на синус \alpha (AB плюс AC)=11AD умножить на синус \alpha;

AD умножить на синус \alpha = дробь, числитель — 48, знаменатель — 11 ; AD= дробь, числитель — 48, знаменатель — 11 умножить на синус \alpha . синус 2\alpha = синус \angle BAC= дробь, числитель — BK, знаменатель — AB = дробь, числитель — 8, знаменатель — 10 = дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 . косинус 2\alpha = дробь, числитель — 3, знаменатель — 5

(числа 3; 4 и 5 – пифагорова тройка).

 синус \alpha = корень из { дробь, числитель — 1 минус косинус 2\alpha , знаменатель — 2 }= корень из { дробь, числитель — 1 минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 , знаменатель — { 2}}= корень из { дробь, числитель — 2, знаменатель — 10 }= дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 5 }.

Итак, AD= дробь, числитель — 48 корень из { 5}, знаменатель — 11 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 96, знаменатель — 25 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 64.
Методы алгебры: Формулы понижения степени
Методы геометрии: Свойства биссектрис, Свойства хорд
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур